Кол-во представлений нат.числа,как суммы k-степеней нат.чис.

[vicvolf]

Виноградов получил следующую формулу для определения количества представлений натурального $n$, как сумму $s$ натуральных чисел в $k$ степени:

$R_s^p(n)=\int_0^1 {f^s(x)e^{-2\pi xn}}dx$, (1)

где $f(x)=\sum_{m=1}^{[n^{1/k}]} {e^{2\pi xm^k}}$, а $[A]$ - целая часть числа $A$.

Учитывая, что не любое натуральное число имеет такое представление, нижняя граница количества таких представлений равна $0$. Нас будет интересовать асимптотическая оценка сверху количества таких представлений.

Доказать следующую асимптотическую оценку сверху количества представлений натурального $n$, как сумму $s$ натуральных чисел в $k$-ой степени:

$R_s^p(n)=O(n^{s/k})$. (2)

Оценка (2) доказывается только с использованием формулы (1) и элементарных методов.

[vicvolf]

Оценка (2) пока не доказана. Тогда другой вопрос, связанный с этим.

Будет ли увеличиваться количество точек с целочисленными координатами на поверхности сферы с ростом ее радиуса (принимает натуральные значения) и если да, то в какой зависимости (доказать оценку)?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1417588 писал(а):

Будет ли увеличиваться количество точек с целочисленными координатами на поверхности сферы с ростом ее радиуса (принимает натуральные значения) и если да, то в какой зависимости (доказать оценку)?

Данный вопрос эквивалентен вопросу - сделать оценку количества решений диофантова уравнения:

$x^2+y^2+z^2=r^2$ (3) ($r$- натуральное число)

в зависимости от $r$.

Если рассмотреть общее уравнение:

$x_1^k+...+x_s^k=n$, (4)

где $n,k$ - натуральные числа, то для количества натуральных решений уравнения (4) выполняется соотношение:

$R_s^{+}(n)=s!R_s^p(n)$, (5)

так как количество натуральных решений уравнения (4) отличается от количества представлений натурального числа $n$, суммой $s$ натуральных чисел $k$ -ой степени, только количеством перестановок.

Поэтому на основании (2) для уравнения (3) справедлива оценка $s=3,k=2$:

$R_3^{+}(n)=O(n^{3/2})$, где $n=r^2$, т.е. $R_3^{+}(r)=O(r^3)$.(6)

Метод Харди-Литтлвуда дает для количества натуральных решений уравнения (4) более сильную оценку, чем (2):

$R_s^{+}(n)=O(n^{s/k-1+\epsilon})$. (7)

Однако, оценка (7) справедлива только при $s>2^k$.

В нашей задаче мы не можем воспользоваться оценкой (7), так как $s=3 <2^2=4$.

[vicvolf]

Отвечу на вопрос другой темы:

vicvolf в сообщении #1413087 писал(а):

Докажите, пожалуйста, что в этом случае для однородного уравнения справедлива следующая асимптотическая оценка сверху для количества натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$:
$\int_{0}^1{|f(x)|^{2s} dx}<< N^{2s-k+\epsilon}$.

На основании (1) и (5) получим:

$|R_s^{+}|=s!|\int_0^1 {f_k^s(x)e^{-2\pi nx}}dx| \leq s!\int_0^1 {|f_k(x)|^s}}dx$, (8)

так как $e^{-2\pi nx} \leq 1$.

Обозначим в формуле (1) $N=n^{1/k}$, тогда на основании (7) и (8) справедлива оценка:

$|R_s^{+}(N)| \leq s!\int_0^1 {|f_k(x)|^s}}dx=O(N^{s-1+\epsilon})$.(9)

Вспомним, что для количества натуральных решений однородного уравнения:

$x_1^k+...+x_s^k=y_1^k+...+y_s^k$ (10)

в гиперкубе со стороной $N$ справедлива оценка:

$|R_{2s}^{+}(N)| \leq \int_0^1 {|f_k(x)|^{2s}}}dx$. (11)

Поэтому на основании (9) и (11) получаем оценку:

$|R_{2s}^{+}(N)| \leq \int_0^1 {|f_k(x)|^{2s}}}dx=O(N^{2s-1+\epsilon})$ (12)

при $2s>2^k$.

Оценка (12) эквивалентна искомой оценке в обозначениях Виноградова:

$\int_0^1 {|f_k(x)|^{2s}}}dx<<N^{2s-1+\epsilon}$

при $2s>2^k$.

[vicvolf]

Оценка (6) является весьма грубой. Согласно этой оценке количество целых решений уравнения (3) растет как количество целых точек внутри сферы.

Можно ли улучшить оценку (6)? Если да, то как?

[vicvolf]

Оценку (6) можно улучшить и вот как.

На основании неравенства Коши-Буняковкого:

$R^{+}_3(N)=\int_0^1 {|f_3(x)|^3}dx=\int_0^1 {|f_3(x)|^2|f_3(x)|}dx \leq (\int_0^1 {|f_3(x)|^4}dx)^{1/2} (\int_0^1 {|f_3(x)|^2}dx)^{1/2}$. (13)

Используя к (3) лемму Хуа ($1 \leq j \leq s, s=3,j=1,2$) получаем:

$R^{+}_3(N) \leq (\int_0^1 {|f_3(x)|^4}dx)^{1/2} (\int_0^1 {|f_3(x)|^2}dx)^{1/2}$$<<(N^{4-2+\epsilon_1})^{1/2}(N^{2-1+\epsilon_2})^{1/2}=N^{3/2+\epsilon_3}$. (14)

Учитывая, что $N=n^{1/2}$, на основании (14) получаем:

$R^{+}_3(n)<<n^{1/2(3/2+\epsilon_3}=n^{3/4+\epsilon_4}$. (15)

Так как в нашем случае $n=r^2$, то на основании (15):

$R^{+}_3(r)=O((r^2)^{3/4+\epsilon_4})=O(r^{3/2+\epsilon})$. (16)

Сравните (16) с (6).