2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных
Сообщение19.08.2019, 14:05 


23/02/12
3110
Дано однородное уравнение:
$x_1^4+x_2^4+x_3^4=y_1^4+y_2^4+y_3^4$. (1)

Если рассматривать более общее уравнение:
$x_1^k+...+x_s^k=y_1^k+...+y_s^k$, (2)

то количество натуральных решений уравнения (2) в гиперкубе со стороной $N$ определяется интегралом (см. стр.73 Р.Вон "Метод Харди-Литтлвуда", М. Мир, 1988, 184):

$R^{+}_{2s}= \int_0^1 {|f(x)|^{2s}}dx$. (3)

Используя (3) и Лемму Хуа (см. стр.20 Р.Вон "Метод Харди-Литтлвуда", М. Мир, 1988, 184) найти асимптотическую оценку сверху количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$?

Подсказка. Для решения задачи вид функции $f(x)$ знать не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных
Сообщение19.08.2019, 21:46 


23/02/12
3110
Напомню Лемму Хуа.

Справедлива следующая верхняя оценка для количества натуральных решений уравнения уравнения:

$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$,

в гиперкубе со стороной $N$:

$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$,

где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.

Теперь учтем в (3), что любое четное число можно представить, как сумму степеней двоек с натуральными показателями:

$2s=2^{j_1}+…+2^{j_t}$.

Далее надо сделать еще один шаг и потом применить Лемму Хуа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных
Сообщение21.08.2019, 13:16 


23/02/12
3110
На основании (3) для количества натуральных решений для уравнения (1) получим:

$R_6^{+}= \int _o^1{|f(x)|^6}dx=\int_0^1 {|f(x)|^4|f(x)|^2dx \leq ...$. (4)

Далее в (4) надо использовать интегральное неравенство, чтобы применить Лемму Хуа

vicvolf в сообщении #1411188 писал(а):

$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$,

где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных
Сообщение26.08.2019, 17:39 


23/02/12
3110
Ну а теперь решение.

На основании (3) для количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$ получим:

$R_6^{+}= \int _o^1{|f(x)|^6}dx=\int_0^1 {|f(x)|^4|f(x)|^2dx$. (4)

Далее в (4) используем интегральное неравенство Коши-Буняковского:

$\int_0^1 {|f(x)|^4|f(x)|^2dx \leq (\int_o^1 {|f(x)|^8}dx)^{1/2}(\int_0^1 {|f(x)|^4}dx)^{1/2}$. (5)

Используем в (5) Лемму Хуа:

vicvolf в сообщении #1411188 писал(а):

$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$,

где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.

получаем:

$\int _0^1 {|f(x)|^8}dx <<N^{2^3-3+\epsilon_1}=N^{5+\epsilon_1}$. (6) $j_1=3<4$

$\int _0^1 {|f(x)|^4}dx <<N^{2^2-2+\epsilon_2}=N^{2+\epsilon_2}$. (7) $j_2=2<4$

Подставим в (5) выражения (6), (7) получим окончательно:

$R_6^{+}=\int_0^1 {|f(x)|^6 } dx <<(N^{5+\epsilon_1})^{1/2}(N^{2+\epsilon_2})^{1/2}=N^{3,5+\epsilon}$. (8)

Метод Харди-Литтлвуда можно использовать для однородного уравнения (2) при $2s>2^k$ или $s>2^{k-1}$. Для уравнения (1) $k=4$, поэтому при $s>8$.
В нашем случае $s=6$ и поэтому использовать метод Харди-Литтлвуда нельзя, а указанный метод, основанный на Лемме Хуа и интегральном неравенстве, использовать можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных
Сообщение27.08.2019, 16:23 


23/02/12
3110
Для оценки точности (8) добавлю, что асимптотическая оценка снизу количества натуральных решений уравнения (1) в гиперкубе со стороной $N$: $R_6^{+}>>N^3$. (9)

 Профиль  
                  
 
 Re: Однородное уравнение 4 степени от 6 переменных
Сообщение01.09.2019, 00:04 


23/02/12
3110
vicvolf в сообщении #1412159 писал(а):
Метод Харди-Литтлвуда можно использовать для однородного уравнения (2) при $2s>2^k$ или $s>2^{k-1}$.
Докажите, пожалуйста, что в этом случае для однородного уравнения (2) справедлива следующая асимптотическая оценка сверху для количества натуральных решений в гиперкубе со стороной $N$:

$\int_{0}^1{|f(x)|^{2s} dx}<< N^{2s-k+\epsilon}$. (10)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group