Как найти ожидаемое количество серий ?

[evs]

Уважаемые форумчане задача такова: В урне два белых и один черный шар. Достается наугад один шар, затем возвращается в корзину и так 100 раз. Необходимо найти наиболее ожидаемое количество серий (по признаку повтора одного цвета) в процентном соотношении к 100 испытаний. Пример серий: БББЧЧБЧ...-серия из трех белых, серия из двух черных, серия из одного белого...

Пример для белого и черного шара: В урне белый шар и чёрный шар. Происходит опыт, заключающийся в вытаскивание одного из шаров наугад с последующим возвращением в урну. Задача: найти ожидаемое количество серий (по признаку повтора одного цвета) в процентном соотношении. Решение: Для серии длиной один. Одну вторую (первый шар) умножаю на одну вторую (второй шар другого цвета). Получаю одну четвертую перевожу в десятичную дробь и умножаю на сто. Итог двадцать пять процентов.

[gris]

насколько я понял, количество серий (безотносительно их длин) на единицу больше количества изменений цвета. а какова вероятность того, что при очередном испытании будет вытащен шар другого цвета

[evs]

Рассмотрим случай, когда Б и Ч встречаются с вероятностью 1/2. Пусть S(n) -- среднее число серий для n испытаний. Ясно, что S(1)=1. Очередной шар либо присоединяется к уже имеющейся серии, либо образует новую серию из одного шара. То и другое происходит с вероятностью 1/2. Поэтому S(n+1)=S(n)+1/2, и S(n)=(n+1)/2. Для n=100 в среднем имеем 50 с половиной серий.

Аналогично для случая, когда Б появляется с вероятностью 2/3 и Ч с вероятностью 1/3. Здесь также S(1)=1. Очередной шар даёт на одну серию больше, если его цвет отличается от цвета предыдущего шара, что имеет место с вероятностью (2/3(1/3)+(1/3)(2/3)=4/9. Тем самым, S(n+1)=S(n)+4/9. Это значит, что S(n)=(4n+5)/9. При n=100 среднее число серий составляет 45.

длина серий -- величина случайная, чему она в точности равна -- мы не знаем. Но если серий в среднем 45, то длина (прикидочно) в среднем равна 100/45=20/9, то есть 2 с небольшим. Но это среднее, и там есть какая-то статистика: сколько в среднем серий длиной 1, длиной 2, и так далее. По идее, всегда бывают сравнительно длинные серии.

хотелось бы более точный ответ

[gris]

я бы написал простенькую программку по моделированию и получил достаточно точную табличку ожидаемого количества серий длин от одного до ста Можно проделать расчёт вероятности того, что начавшаяся серия будет иметь заданную длину, наподобие вашего расчёта для серий единичной длины при бесконечном числе испытвний. Но ограничение чмсла испытаний (сто) будет усложнять это дело.

[evs]

как я понимаю остается статистика

[gris]

я думаю, что для условий "БЧ", "БЧЧ" и 100 теория сработает достаточно точно. А вдруг вы возьмёте сто чёрных и один белый, либо уменьшите количество испытаний. Длинные серии будут мешать друг другу. Тогда проще моделировать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- правила пунктуации стоит соблюдать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.