Системы квадр.диофантовых уравнений от четырех переменных

[Yury_rsn]

Решение одной задачи привело к системам диофантовых уравнений.
Например,
$ax + by=m$
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)=1$
Вопрос в том, какие числа $m$ представимы формой $ax + by$ при условии, что числа $x$, $y$, $a$, $b$ должны удовлетворять второму уравнению.
Т.е., пробегает ли $m$ всё множество натуральных чисел, или есть такие значения, которые непредставимы данной формой в данной системе?

И есть еще одно условие - решение нужно найти без учета очевидной тривиальной подстановки во второе уравнение $x=1$, $y=3j$, $a=j$, $b=0$.
Если эти значения подставить в первое уравнение, то увидим, что $j=m$. Т.е., $m$ пробегает множество всех целых чисел, поскольку $j$ - это независимый параметр.

Подскажите, плз, какими методами может быть решена данная задача?
Решаема ли она вообще?

-- 08.09.2019, 20:59 --

Несколько начальных значений $x$, $y$, $a$, $b$ для примера.

3, 1, 1, 0
6, 1, 2, 0
3, 8, 2, 2
9, 1, 3, 0
12, 1, 4, 0
9, 10, 4, 2
15, 1, 4, 3
15, 8, 4, 4
0, 17, 4, 4
15, 1, 5, 0
9, 17, 5, 4
3, 19, 5, 4
18, 1, 6, 0
15, 10, 6, 0
0, 19, 6, 2
21, 1, 7, 0
15, 19, 7, 4
24, 1, 8, 0
15, 19, 8, 1
18, 17, 8, 2
33, 8, 8, 8

[Andrey A]

Предположим $x,y$ — неизвестные, а всё остальное известно. Предположим также, что $(a,b)$ не имеют общего делителя $>1$, который не делит $m$, иначе первое уравнение неразрешимо. Тогда бы я воспользовался тождеством $(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$. Основание первого квадрата в правой части $=m$, основание второго квадрата обозначим $t=ay-bx.$ Тогда $x^2+y^2=\dfrac{m^2+t^2}{a^2+b^2}=9(a^2+b^2)+1$, откуда $t=\sqrt{(a^2+b^2)\left ( 9(a^2+b^2)+1 \right )-m^2}$. Если оно целое, имеем линейную систему относительно $x,y$ со свободными членами $m,t$. Иначе уравнение в целых числах неразрешимо. Впрочем, и при целом $t$ решение в общем случае рационально.

[Yury_rsn]

Цитата:

$t=\sqrt{(a^2+b^2)\left ( 9(a^2+b^2)+1 \right )-m^2}$. Если оно целое, имеем линейную систему относительно $x,y$ со свободными членами $m,t$. Иначе уравнение в целых числах неразрешимо. Впрочем, и при целом $t$ решение в общем случае рационально.

т.е. мы приходим к новому аналогичному уравнению
$t^2 + m^2=(a^2+b^2)( 9(a^2+b^2)+1)$
И опять вопрос в том, как найти целые решения относительно $t$ или $m$.
---
Вот несколько чисел $m$, которые не представимы в исходной системе уравнений:
1, 4, 6, 9, 11, 14, 15, 20, 21, 25, 26, 30, 34, 35, 40 ...

[Andrey A]

То есть $m$ – параметр при четырех свободных переменных $a,b,x,y$? Тогда это другая задача. Боюсь, параметрами всё же придется брать $a,b$, явно или не явно, и решать нижнее уравнение системы отдельно, исключив $\gcd (a,b)$ противоречащие верхнему уравнению. Если $(a,b)$ вз. просты, то одна из переменных должна быть кратна четырем (попробуйте сами разобраться почему). Если $\gcd (a,b)=2$, получаем уравнение $36(A^2+B^2)+1=x^2+y^2$ разрешимое с большой вероятностью (например если в правой части образовалось простое), но $m$ тогда четное. Заморачиваться с линейной системой при таком раскладе нет смысла, можно обойтись простой проверкой, что Вы и делаете. Как-то так.

[Yury_rsn]

Andrey A в сообщении #1414210 писал(а):

То есть $m$ – параметр при четырех свободных переменных $a,b,x,y$?

Четыре переменных связаны между собой условиями второго уравнения в системе.
Т.е., они не совсем свободны.

Цитата:

Если $(a,b)$ вз. просты, то одна из переменных должна быть кратна четырем

Они не всегда взаимно просты.

Можно увидеть еще и другие условия на переменные.
Например, по модулю 9, второе уравнение дает условия на $x$ и $y$. Одна из этих переменных обязательно кратна 3, а вторая сравнима с 1 или -1 по модулю 9.

Цитата:

можно обойтись простой проверкой, что Вы и делаете. Как-то так.

Простая проверка мало что дает.
Если можно, я еще раз сформулирую цель задачи.

Вообще-то, вполне можно предположить ситуацию, что начиная с некоторого значения, переменная $m$ из первого уравнения, начнет принимать все подряд целые значения. И так до бесконечности.

Вопрос - есть ли методы как-то доказать, что множество значений $m$ не содержит все натуральные числа (свыше некоторой границы), а имеет "пробелы" - вплоть до бесконечности?

[Andrey A]

Даже не вспомню такого примера, чтобы в маленьких числах были пробелы, а после прекратились. Это скорее в портал госзакупок, но тут я пас.

[Shadow]

Andrey A в сообщении #1414265 писал(а):

Даже не вспомню такого примера, чтобы в маленьких числах были пробелы, а после прекратились

При каких $d$ уравнение $11x+15y+17z=d$ имеет решения в натуральных числах, например.

Yury_rsn в сообщении #1414257 писал(а):

Вопрос - есть ли методы как-то доказать, что множество значений $m$ не содержит все натуральные числа (свыше некоторой границы), а имеет "пробелы" - вплоть до бесконечности?

Если $36m^2+1$ - простое, например...
Кроме $a=m,x=1,b=0,y=\pm 3m$ конечно.

[Yury_rsn]

Shadow в сообщении #1414287 писал(а):

Если $36m^2+1$ - простое, например...
Кроме $a=m,x=1,b=0,y=\pm 3m$ конечно.

спасибо
Значит, система в общем виде не разрешима

[Shadow]

Yury_rsn в сообщении #1414302 писал(а):

Значит, система в общем виде не разрешима

В общем случае она разрешима, дело сводится к уравнению $9v^2+v-m^2=t^2$ (см. пост Andrey A)
Оно имеет решение $v=m^2$, нравится оно вам или нет, которое приводит к "тривиальному" решению системы.
(В моих обозначениях $v=a^2+b^2,\;9v+1=x^2+y^2$)

Уравнение можно записать в виде:
$(18v+6t+1)(18v-6t+1)=36m^2+1$
где все сводится к разложению числа $36m^2+1$ на два положительные множителя вида $6k+1$ (положительные, потому что $v$ должно быть положительным). Понятно, что если число простое, то решение только "тривиальное". Но также будет и если все собственные делители числа имеют вид $6k-1$.
Поэтому мне любопытно, почему в вашем списке:

Yury_rsn в сообщении #1414192 писал(а):

Вот несколько чисел $m$, которые не представимы в исходной системе уравнений:
1, 4, 6, 9, 11, 14, 15, 20, 21, 25, 26, 30, 34, 35, 40 ...

отсутвуют $5,7,8,13\cdot$

Ведь $36\cdot 5^2+1=17\cdot 53$ и т.д.
Инересно посмотреть какие решения у вас получились для этих случаев. Если я ничего не напутал, они не должны быть.

[Yury_rsn]

ну, неразрешима в том смысле, что хотелось получить только с помощью диофантовых уравнений информацию о структуре множества значений числа $m$. Т.е., что можно будет и дальше найти такие числа, которые нельзя представить в виде решения этой системы
Судя по всему, это невозможно

Если я правильно понял ваш вопрос про числа $5,7,8,13\cdot$ - то их нет именно потому, что они дают составные числа.
А сама исходная система в полном виде выглядит так:
$ax + by=m$
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)= 1$
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)= - 1$

-- 10.09.2019, 15:33 --

Yury_rsn в сообщении #1414390 писал(а):

ну, неразрешима в том смысле, что хотелось получить только с помощью диофантовых уравнений информацию о структуре множества значений числа $m$. Т.е., что можно будет и дальше найти такие числа, которые нельзя представить в виде решения этой системы

Примерная идея была такая:
Рассмотрим, допустим, общее решение диофантова уравнения для пифагоровых троек -
$x^2+y^2=z^2$
Подстановки, которые дают все взаимопростые решения этого уравнения:
$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$

И мы видим, что числа $z$ - не могут быть любым натуральным числом.
Как минимум, $z$ не может быть представлено в виде $4k+3$

[Shadow]

Yury_rsn в сообщении #1414302 писал(а):

Shadow в сообщении #1414287 писал(а):

Если $36m^2+1$ - простое, например...
Кроме $a=m,x=1,b=0,y=\pm 3m$ конечно.

спасибо
Значит, система в общем виде не разрешима

Осталась самая малость- разрешить четвертую проблему Ланадау- положительно.

[Yury_rsn]

Shadow в сообщении #1414429 писал(а):

Осталась самая малость- разрешить четвертую проблему Ландау- положительно.

ну, дык..

[Yury_rsn]

Нашел общие подстановки, которые решают уравнения
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)= 1$
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)= - 1$
---
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)= 1$

$x = 3X$
$y = 3b+Q$
$a = a$
$b = (1 - Q^2 + 9a^2 - 9X^2) / 6Q$
---
$x^2+y^2 - 9(a^2+b^2)= - 1$

$x = 3X$
$y = 3b+Q$
$a = a$
$b = (-1 - Q^2 + 9a^2 - 9X^2) / 6Q$

$Q$ - не должно быть кратно $3$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»