Теория вероятностей. N точек на окружности

[meeeeessi]

На окружности случайным образом и независимо друг от друга выбирается n точек. Какова вероятность, что они окажутся на одной полуокружности?

Мое решение такое. Для трех точек задачу можно решить геометрически. Нам нужно по сути отрезок длины 2$pi$ разделить на три части $x_1, x_2, x_3$ так, что один из них был не меньше $pi$ (и понятно, что все $x_i$ неотрицательны). В этом и только в этом случае у нас точки, которые являются концами соответствующих дуг на окружности радиуса $1$ ($x_1, x_2, x_3$ являются длинами дуг), будут лежать на одной полуокружности.

Теперь это все мы должны нарисовать в пространстве $(x_1, x_2, x_3)$. Там получается треугольник с вершинами в точках $(0, 0, 2pi), (0, 2pi, 0), (2pi, 0, 0)$, соответствующий плоскости $x_1+x_2+x_3 = 2pi$ с ограничениями $x_i \geq 0$. Теперь нужно отсечь ту часть треугольника, где все $x_i$ меньше $pi$. Это получается срединный треугольник, площади $1/4$ от всего треугольника. Таким образом, получается вероятность события $3/4$.

Как-то перенести это решение на $n$ не получается таким же геометрическим способом. Однако есть идея такая. Будем выбирать точки по очереди. Сначала выберем три точки с вероятностью $3/4$, что они лежат на одной полуокружности. Из этих трех оставим только те две, наименьшая длина дуги между которыми наибольшая. Далее ставим еще одну точку, и эта новая должна с ранее выбранными двумя также должна быть на одной полуокружности, что произойдет с вероятностью $3/4$, т.~е. выбрать четыре точки равна $9/16$, а $n$ --- $(3/4)^{n-2}$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.