Дифференциал и касательная

[oleg.k]

Зорич писал(а):

Определение 2.Функция $f: E \to \mathbb{R}$, заданная на множестве $E \subset \mathbb{R}$, называется дифференцируемой в точке $x \in E$, предельной для множества $E$, если

$$f(x +h) - f(x) = A(x)h + \alpha (x; h)$$

где $h \to A(x)h$ - линейная относительно $h$ функция, а $\alpha (x; h) = o(h)$ при $h \to 0, x+h \in E$

Зорич писал(а):

Определение 3.Линейная по $h$ функция $h \to A(x)h$ из определения 2 называется дифференциалом функции $f:E \to \mathbb{R}$ в точке $x \in E$ и обозначается символом $df(x)$ или $Df(x)$.

Зорич писал(а):

Определение 4. Если функция $f: E \to \mathbb{R}$ определена на множестве $E \subset \mathbb{R}$ и дифференцируема в точке $x_0 \in E$, то прямая, задаваемая уравнением

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$$

называется касательной к графику этой функции в точке
$(x_0, f(x_0))$.

В чем разница касательной и дифференциала? Можно ли сказать, что касательная к графику функции в данной точке - это дифференциал этой функции в данной точке?

[wrest]

oleg.k в сообщении #1413436 писал(а):

В чем разница касательной и дифференциала?

Касательная -- это прямая линия (задаваемая уравнением, прямая это геометрическое понятие, связанное к тому же с декартовой системой координат, на которой изображается график функции в виде кривой).

Дифференциал -- это функция двух переменных (аргумента и приращения аргумента).

Ну то есть одно тёплое, а другое мягкое.

[oleg.k]

wrest в сообщении #1413438 писал(а):

Касательная -- это прямая линия (задаваемая уравнением, прямая это геометрическое понятие, связанное к тому же с декартовой системой координат, на которой изображается график функции в виде кривой).

Я понимаю касательную как некоторую линейную функцию ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$), заданную в той же системе координат, что и график функции $f$ и проходящую через точку $(x_0, f(x_0))$. Так можно? А то у Вас как-то сложно

wrest в сообщении #1413438 писал(а):

Дифференциал -- это функция двух переменных (аргумента и приращения аргумента).

Зачем "двух переменных"? Рассмотрим некоторую функцию $f: E \to \mathbb{R}$, заданную на множестве $E \subset \mathbb{R}$. Точка $x_0 \in E$ - предельная для $E$. Тогда функция $f$, рассматриваемая в точке $x_0$, может породить новую линейную функцию $d: \Delta x \to d(\Delta x)$ с очень приятными свойствами. Вот ее мы и назовем дифференциалом функции $f$ в точке $x_0$. Да, у нас не будет единого дифференциала для всей функции $f$. Для каждой точки будет свой дифференциал. Конечно, дифференциал, вообще говоря, "дырявая" линейная функция (т.е. определена не на $\mathbb{R}$).Более того, она определена не в той же системе координат, что и функция $f$. Но это не проблема: при желании можно определить дифференциал, как "дырявую" линейную функцию, заданную в той же системе координат, что и $f$. Если взять две ее любые точки, превратить в нормальную линейную функцию и переместить по оси $Y$ на $f(x_0)$, то получим касательную. Имхо, нет ничего криминального в том, чтобы говорить, что "касательная - это дифференциал".

[Dan B-Yallay]

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

Имхо, нет ничего криминального в том, чтобы говорить, что "касательная - это дифференциал".

Надо "всего лишь" упоминать, что

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

Конечно, дифференциал, вообще говоря, "дырявая" линейная функция (т.е. определена не на $\mathbb{R}$).Более того, она определена не в той же системе координат, что и функция $f$. Но это не проблема: при желании можно определить дифференциал, как "дырявую" линейную функцию, заданную в той же системе координат, что и $f$. Если взять две ее любые точки, превратить в нормальную линейную функцию и переместить по оси $Y$ на $f(x_0)$, то получим касательную.

А так-то в принципе, наверное, можно и называть.. Только кому нужен этот мазохизм?

[wrest]

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

Тогда функция $f$, рассматриваемая в точке $x_0$, может породить

Функция одного переменного в какой-то конкретной точке это просто какое-то число...

-- 03.09.2019, 19:41 --

oleg.k
А дальше вы ведь спросите чем отличается производная от касательной?

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

некоторую линейную функцию ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$), заданную в той же системе координат, что и

Функцию нельзя задать в системе координат.

Касательная к графику $f$ в точке $x_0$ — это действительно график линейного приближения $f$, $f(x_0) + df(x_0, x-x_0)$. (Это верно для функций многих аргументов, графики которых будут иметь касательную плоскость и т. д.) Так же можно получить, например, касательную кривую/поверхность/… второго порядка, хотя не любую (точно так же как мы не можем получить вертикальную касательную прямую/плоскость/…), прибавляя ещё $d^2 f(x_0, x-x_0, x-x_0)$.

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

Да, у нас не будет единого дифференциала для всей функции $f$. Для каждой точки будет свой дифференциал.

Потому и включают иногда $x_0$ как ещё один аргумент, чтобы говорить о $df$ без всякой нужды всегда указывать где.

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

Конечно, дифференциал, вообще говоря, "дырявая" линейная функция (т.е. определена не на $\mathbb{R}$).

Зачем создавать себе трудности на ровном месте? У остальных вполне недырявая.

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

Имхо, нет ничего криминального в том, чтобы говорить, что "касательная - это дифференциал".

Есть, потому что дифференциал как минимум определяется и тогда, когда нельзя говорить о касательной к графику: области определения и значений $f$ не обязательно аффинные пространства. А дифференциал определён для более широкого класса отображений.

[oleg.k]

wrest в сообщении #1413457 писал(а):

Функция одного переменного в какой-то конкретной точке это просто какое-то число...

Сложно с этим спорить Но как это связано с моим текстом?

arseniiv в сообщении #1413468 писал(а):

oleg.k в сообщении #1413440 писал(а):

некоторую линейную функцию ($\mathbb{R} \to \mathbb{R}$), заданную в той же системе координат, что и

Функцию нельзя задать в системе координат.

Рассматриваемую

arseniiv в сообщении #1413468 писал(а):

Потому и включают иногда $x_0$ как ещё один аргумент, чтобы говорить о $df$ без всякой нужды всегда указывать где.

А когда может возникнуть потребность рассматривать сферический дифференциал функции в вакууме? Все равно придется произносить фразу: "рассмотрим дифференциал функции в точке $x_0$". В любом случае согласен, тут обсуждать в принципе нечего. Вопрос удобства и не более.

arseniiv в сообщении #1413468 писал(а):

Зачем создавать себе трудности на ровном месте? У остальных вполне недырявая.

А вот тут непонятно. Функция же не обязана быть определенной в каждой точке окрестности предельной точки. При некоторых приращениях аргумента приращение функции может быть не определено.

arseniiv в сообщении #1413468 писал(а):

Есть, потому что дифференциал как минимум определяется и тогда, когда нельзя говорить о касательной к графику: области определения и значений $f$ не обязательно аффинные пространства. А дифференциал определён для более широкого класса отображений.

Хоть мне это пока и не сильно надо, спасибо. Буду знать. А то я не понимал, почему дифференциал считают более общим объектом, чем производные/касательные.

Dan B-Yallay в сообщении #1413449 писал(а):

А так-то в принципе, наверное, можно и называть.. Только кому нужен этот мазохизм?

Мне. У меня проблемы с фразами наподобие "дифференциал - это бесконечно малое приращение", "дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением", "дифференциал - это линейная часть приращения функции", "дифференциал - это число", "дифференциал - это не функция" и т.д. Мне думалось, что касательная - самый близкий объект, подходящий на роль интуитивного образа для дифференциала в одномерном анализе. Но видимо это не совсем так.

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1413473 писал(а):

Рассматриваемую

Да вообще никакую. (Скорее всего я не понял это добавление.)

oleg.k в сообщении #1413473 писал(а):

А когда может возникнуть потребность рассматривать сферический дифференциал функции в вакууме?

Тут дело не в том, что сферический, а что иметь функцию $A\to(B\to C)$, функцию $B\to(A\to C)$, функцию $A\times B\to C$ — одно и то же, так что иногда нам например нужно звать диффренциалом функцию, сопоставляющую точке линейное отображение. Звать это каким-то другим словом, а дифференциалом звать только то линейное отображение, исторически не сложилось (и довольно естественно).

oleg.k в сообщении #1413473 писал(а):

А вот тут непонятно. Функция же не обязана быть определенной в каждой точке окрестности предельной точки. При некоторых приращениях аргумента приращение функции может быть не определено.

Дифференциал всегда линеен по приращениям и потому должен быть определён для любых, а если это не так, то проблемы с определением дифференцируемости. Или если определения так дороги, можно тогда уж и дифференциал по непрерывности доопределять.

oleg.k в сообщении #1413473 писал(а):

А то я не понимал, почему дифференциал считают более общим объектом, чем производные/касательные.

Вообще в общем случае производная — другое имя для дифференциала. Просто в случае одного аргумента из $\mathbb R$ получается линейное отображение $\mathbb R\to\mathbb R$, а они как кольцо изоморфны $\mathbb R$, вот и оказывается можно считать производную числом, и для простоты изучения основ производная в точке — число, а дифференциал в точке — линейная функция.

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1413476 писал(а):

Дифференциал всегда линеен по приращениям и потому должен быть определён для любых, а если это не так, то проблемы с определением дифференцируемости. Или если определения так дороги, можно тогда уж и дифференциал по непрерывности доопределять.

Рассмотрим функцию $f(x) = x$, определенную на рациональных числах. Она определена в нуле и ноль является предельной точкой для ее области определения. У нее есть дифференциал в нуле, который совпадает с самой функцией $f$ (если определять дифференциал, как функцию $d: \Delta x \to d(\Delta x)$, заданную на приращениях аргумента) Он линеен по приращениям, но не определен в иррациональных точках (т.е. не определен для приращений, выражаемых иррациональными числами). Никаких проблем с определением дифференцируемости я не вижу. Дифференциал получился с дырками. Или это не дифференциал?

[Dan B-Yallay]

oleg.k в сообщении #1413486 писал(а):

Рассмотрим функцию $f(x) = x$, определенную на рациональных числах.

oleg.k в сообщении #1413486 писал(а):

У нее есть дифференциал в нуле, который ..... линеен по приращениям, но не определен в иррациональных точках

oleg.k в сообщении #1413486 писал(а):

Дифференциал получился с дырками.

Какая досада. Так и функция изначально с дырками, чего же еще?

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1413486 писал(а):

Он линеен по приращениям, но не определен в иррациональных точках (т.е. не определен для приращений, выражаемых иррациональными числами).

Только потому что $0 + \Delta x$ не входит в область определения функции, говорить, что $df(0)$ не определён в $\Delta x$, нет никакой практической пользы. Когда такой «дырявый дифференциал» определён, его всегда можно единственным образом доопределить до всюду определённого (на приращениях), так что в общем определении это сразу и требуется. А в частном типа дифференциала функции $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ он сразу постулируется равным $f'(x_0) \Delta x$, где $\Delta x\in\mathbb R$.

[wrest]

[oleg.k]

Dan B-Yallay в сообщении #1413498 писал(а):

Какая досада. Так и функция изначально с дырками, чего же еще?

Ну не все же функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Иногда бывают и с дырками.

arseniiv в сообщении #1413499 писал(а):

Когда такой «дырявый дифференциал» определён, его всегда можно единственным образом доопределить до всюду определённого (на приращениях)

Точки дырявого дифференциала ложатся в линию. Доопределим его до нормальной (не дырявой) линейной функции. И тогда, если считать дифференциалом эту нормальную линейную функцию, то дифференциал будет в точности касательной к графику функции $f$ в той точке, в которой мы ее дифференцируем. Я собственно к этому и веду. Если мы считаем дифференциал "всегда недырявым", то "касательная функции в точке - это ее дифференциал в этой точке" и у нас получаются 2 разных названия одной и той же линейной функции. И это не считая того, что у нас будет приращение функции, соответствующее приращению аргумента, которого не может быть.

wrest
К чему картинка? На ней гладкая, всюду определенная функция.

[wrest]

oleg.k в сообщении #1413513 писал(а):

К чему картинка? На ней гладкая, всюду определенная функция.

На ней видно, что дифференциал и касательная это не одно и то же, что дифференциал это линейная часть приращения функции, а также что дифференциал аргумента равен приращению аргумента, то есть отвечает сразу по нескольким вашим непоняткам.

[oleg.k]

wrest в сообщении #1413515 писал(а):

На ней видно, что дифференциал и касательная это не одно и то же.

Как на ней может быть видно, что "дифференциал и касательная это не одно и то же" если на ней не нарисован дифференциал? На картинке показано значение дифференциала (которое автор картинки называет почему-то дифференциалом), соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ (которое автор зачем-то назвал $dx$, что из разряда "дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением" но это еще ладно...). Более того, коричневый график линейной функции не подписан. Полагаю, автор подразумевал в ней касательную. Но ее же можно назвать и дифференциалом. О чем я и говорил.

P.S. Имхо лучшее, что можно сделать с этой картинкой - забыть про нее и никому никогда больше не показывать.