Линейные операторы и их матрицы

[vladimashev]

Пусть операторы $A,B:V \rightarrow V$.
Почему операторное равенство

$$AB=BA$$

равносильно матричному ( где $A_e,B_e$ - матрицы одноименных операторов в произвольном базисе $e$ пространства V)

$$A_eB_e=B_eA_e$$

Имею в виду, как этот критерий строго доказать. На интуитивном уровне понимаю, но как можно это объяснить строго?

[mihaild]

Установите естественное взаимно-однозначное соответствие $f$ между операторами и матрицами (по сути определение матрицы оператора). Докажите, что матрица $f(A \circ B)$ композиции $A \circ B$ двух операторов $A$ и $B$ есть произведение $f(A) \cdot f(B)$ матриц этих операторов. Дальше
$A \circ B = B \circ A$
$f(A \circ B) = f(B \circ A)$ - равносильно предыдущему, т.к. $f$ - биекция
$f(A) \cdot f(B) = f(B) \cdot f(A)$ - равносильно предыдущему по доказанному.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»