ВТФ

[glafira krinner]

Лемма. Рассмотрим разность кубов $c^3-b^3=(c-b)((c-b)^2+3bc)$ для взаимно простых $b, c$. Для этого равенства очевидно утверждение:
если разность кубов кратна $3$, то разность кубов кратна $9$. (1)

Теорема. Равенство $a^3+b^3=c^3$ в натуральных числах не выполняется.
Доказательство проводим методом от противного: пусть это равенство выполняется для взаимно простых $a, b, c$. Преобразуем его к виду

$a^3=(c-b)((c-b)^2+3bc)$, (2а)
$b^3=(c-a)((c-a)^2+3ac)$, (2б)
$c^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)$, (2в) или

$a^3-(c-b)^3=3bc(c-b)$, (3а)
$b^3-(c-a)^3=3ac(c-a)$, (3б)
$(a+b)^3-c^3=3ab(a+b)$. (3в)

Согласно утверждению (1) разности кубов (3а-3в) кратны $9$. Это значит, что одна из переменных $a, b, c$ кратна $3$.

Пусть $a$ кратна $3$. Тогда в равенстве (2б) множители c-a$ и $(c-a)^2+3ac$ взаимно обратные. Из последнего следует, что $(c-a)^2+3ac = x^3$ или $c^2+ac+a^2=x^3$, где $x$ - один из множителей переменной $b$, причем $c >x$. Пусть $c=x+a$\pm$k$. Тогда $c-x=a$\pm$k >0$ или $a>k$.
В последнем уравнении относительно неизвестной $c$ по теореме Безу $c$ является делителем свободного члена $x^3-a^2$. Выполним деление $x^3-a^2$ на $c$:
$x^3-a^2=(x+a$\pm$k)(x^2-x(a$\pm$k)+(a$\pm$k)^2)-(a$\pm$k)^3-a^2$. Остаток от деления $-(a$\pm$k)^3-a^2$ должен равняться нулю, но он является отрицательным числом, поскольку $a>k$. Получили противоречие.

Аналогичные противоречия можно получить, если предположить, что $b$ или $c$ кратны $3$. Значит, исходное предположение о равенстве$a^3+b^3=c^3$ неверно.

[venco]

glafira krinner в сообщении #1410155 писал(а):

Остаток от деления $-(a$\pm$k)^3-a^2$ должен равняться нулю

Не должен. Он должен делиться на $c$, или надо ещё доказать, что его модуль меньше $c$.

[nnosipov]

glafira krinner в сообщении #1410155 писал(а):

Выполним деление $x^3-a^2$ на $c$:
$x^3-a^2=(x+a$\pm$k)(x^2-x(a$\pm$k)+(a$\pm$k)^2)-(a$\pm$k)^3-a^2$. Остаток от деления $-(a$\pm$k)^3-a^2$ должен равняться нулю

Не должен, конечно, ибо это остаток от деления не чисел, а (судя по написанной формуле) многочленов от $x$.

Совершенно типичная ошибка ферматистов --- выдавать деление с остатком многочленов за деление с остатком чисел.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.