Биекция между R и R^n?

[x0rr]

существует ли такая биекция?

[PAV]

x0rr писал(а):

существует ли такая биекция?

Доказывается, что указанные множества равномощны, а значит биекция существует.

[x0rr]

PAV
то есть явного вида биекции нет?
эта наверное такая же "кривая" биекция, как между Z и Q
кривая в смысле, что не изоморфизм: без сохранения некоторой алгебраической структуры

[PAV]

Красивой биекции, похоже, не получится по объективным соображениям. Например, рассмотрим эти пространства как линейные над R. Тогда построить изоморфизм между ними невозможно, так как он должен сохранять размерность, а она у них разная.

[x0rr]

получается, что с точки зрения Z в Q: Z - одномерно, а Q - двухмерно

[x0rr]

а вот интересно сразу аналогия
одномерное это у нас что, это $\mathbb R$
а двухмерное - это $\mathbb C$
в противовес к
$\mathbb Z$
$\mathbb Q$

[PAV]

Ну, это аналогии, но особенного математического смысла я в них не вижу.

[x0rr]

а может быть там ввести "другую" алгебраическую операцию и другой инвариант (не размерность), сохраняющийся при изоморфизме
ведь всё-таки не зря Кантор придумал биекцию Z в Q
но это так, конечно вы правы, что пока особого математического смысла не предвидится

[4arodej]

PAV писал(а):

x0rr писал(а):

существует ли такая биекция?

Доказывается, что указанные множества равномощны, а значит биекция существует.

Стоит вспомноить сферу Римана - биекция между сферой размерности n-1 и R^n

[Genrih]

Не претендую на красоту изложения
В частном случае, при $n=2$ такой биекцией задаются функции Кантора.
Вначале делается все для дискретного случая, т.е. задается биекция $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N*N}$. Изпользуется тот факт, что $n=2^k(2l+1)$ и таким образом задается биекция $g(n)=(k,l)$.
На$\mathbb{R}$ ето расширяется путем еквивалентности множеств $\mathbb{R}$ и $2^{\mathbb{N}$ ; т.к. в свою очередь $2^{\mathbb{N}} \rightarrow 2^{\mathbb{N*N}}$

[zkutch]

для n=2 "красивая" биекция невозможна еще по такому соображению: множество действительных чисел является упорядоченным полем, в то время как множество комплексных чисел есть поле, которое нельзя упорядочить. Грубо говоря, неравенство не переносится.

[zkutch]

К сожалению только сейчас проклюнулся в памяти следующий вариант:

сперва будем рассуждать для прямой и двумерной плоскости. Для краткости, немного грубовато идея в следующем: каждому действительному числу можно сопоставить однозначно последовательность натуральных чисел. Значит паре действительных чисел соответствует пара таких последовательностей. Из пары последовательностей можно опять таки однозначно определенным способом получить одну последовательность. И уже этой последовательности опять будет соответствовать однозначным способом уже одно действительное число.
Аналогично в n-мерном случае.

[незваный гость]

Я как-то не уверенно себя чуствую с этим построением. Да, каждому вещественному числу можно сопоставить последовательность целых. (ZB: $a_n = \lfloor 2^n x \rfloor$.) Каждой паре последовательностей можно сопоставить новую последовательность -- например, беря по очереди четные и нечетные элементы новой последовательности из старых. Но откуда следует, что такая последовательность будет соответствовать какому-либо вещественному числу?

Поясните, пожалуйста, что я не уловил в Вашем построении.

[Dan_Te]

Если между действительными числами и последовательностями определить биекцию, то все прокатывает, потому что каждой последовательности будет соответствовать ровно одно число.
Вот только определить именно биекцию, а не сюръекцию - технический момент, требующий аккуратности.

Хотя можно и не строить биекцию явно:
1. Строим биекцию между R и отрезком [0,1].
2. Сопоставляем каждому числу из [0,1] последовательность нулей и единиц. Таким образом, мощность [0,1] не превышает мощности множества последовательностей.
3. Каждой последовательности из нулей и единиц ставим в соответствие точку канторовского множества.
4. По теореме не помню кого (Кантора-Бернштейна?) это будет означать равномощность множества последовательностей и отрезка [0,1]. Следовательно, нужная нам биекция существует.

[zkutch]

незванный гость писал(а):

:evil:
Но откуда следует, что такая последовательность будет соответствовать какому-либо вещественному числу?

Поясните, пожалуйста, что я не уловил в Вашем построении.

я был бы рад если бы это было мое построение, но, к сожалению, как я писал, я только вспомнил - Натансон И.П. "Теория функц. веществ. переменной", 1974г., стр. 25, следствие 1.
Если я правильно понял Dan_Te, он верно уловил идею, предложив слегка другое техническое решение.