Биекция между R и R^n?

[juna]

Изучив подробнее материалы дискуссии, я готов смягчить категорическое высказывание по-поводу классиков. Вы их не забыли, Вы их «улучшаете», ища «красивое» биективное отображение R->R^n. Что из этого вышло – не мне судить, если кого-то обидел мой максимализм – то это было лично мое мнение. Но все это уж слишком было похоже на свободные вариации по разработанной теме.

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Например, Г.Кантор доказал парадоксальный факт, что количество точек на отрезке [0,1] равно количеству точек любого бесконечного пространства любой размерности.

Как насчет биекции из (0,1) во множество всех функций из (0,1) в (0,1)?
Т.е.
$$\varphi : (0,1) \to [\ f: (0,1) \to (0,1) ]

Кардиналы у них разные или нет?

[finanzmaster]

Dan B-Yallay писал(а):

Как насчет биекции из (0,1) во множество всех функций из (0,1) в (0,1)?
Т.е.
$$\varphi : (0,1) \to [\ f: (0,1) \to (0,1) ]

Не, не получится. Мощность мн-ва всех функций на (0,1) больше континиума. Доказывается от противного - сейчас уж не воспроизведу,
но можно найти, напр, в Б.З. Вулих - Краткий Курс ТФДП.
Да и в других книжках, наверное, тоже - вообще это стандратный пример мн-ва, которое 'больше' континиума.

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Как насчет биекции из (0,1) во множество всех функций из (0,1) в (0,1)?
Т.е.
$$\varphi : (0,1) \to [\ f: (0,1) \to (0,1) ]

Кардиналы у них разные или нет?

Разные: $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ (континуум) и $2^{\mathfrak c}$.

[juna]

Пусть с – континуум. Каждой точке единичного квадрата соответствует континуум функций (если рассматривать вообще все возможные), а самих таких точек внутри квадрата тоже континуум, т.е. мощность множества всех функций – это с^с. Мощность единичного отрезка - с. По обобщенной теореме Кантора ясно, что с<c^c.
Условия задачи можно переделать так, чтобы была биекция: рассмотрим множество всех отображений множества натуральных чисел в множество действительных. Тогда для заданного множества и единичного отрезка можно найти одновременно сюръективное и инъективное отображение.

[zkutch]

Можно добавить, что если множество всех функций заданных на сегменте [0, 1] биективно множеству всех подмножеств [0, 1], то уже множество всех непрерывных функций заданных на сегменте [0, 1] биективно самому [0, 1].

[Dan B-Yallay]

Спасибо всем за ответы. Я тоже уважаю классиков и помню эти факты.
А пример привел как контрдовод к неточно сформулированной (на мой взгляд) теореме Кантора г-ном Артамоновым:

Цитата:

количество точек на отрезке [0,1] равно количеству точек любого бесконечного пространства любой размерности.

Ведь множество функций это бесконечное пространство и довольно таки "любой" размерности.

[juna]

Сказал я так для большей наглядности. Но множество всех функций - это не бесконечное пространство любой размерности. Пространство размерности n (вплоть до k0 – мощности счетного множества) – это с^n или с^k0=(2^k0)^k0=2^k0=c - итак с^n=c. Множество всех функций – это континуум в континууме, т.е. с^c=(2^k0)^c=2^c – множество всех подмножеств от континуума.
Таким образом, мое предложение, в отличие от Вашего, не противоречит ни наглядности ни теории.