Признаюсь честно, связи между "задачкой Эйлера" и проблемой близнецов я уловить не могу.
Видимо поэтому я не могу понять, почему одно должно предшествовать другому.
Если кто-то "задачку Эйлера" уже решил (а по видимому это так, Вы правильный ответ знаете)
то почему неизвестно о решении проблемы близнецов.
И вообще, зачем решать решённую задачу.
Деление доказательств на элементарные и неэлементарные условно и субъективно, так мне кажется. Может быть ошибаюсь.

Ну такое деление будет действительно субъективным, если проблема решена
средствами которые относятся к той области математики в которой эта проблема
возникла. Под неэлементарным доказательством я имел в виду комплексное доказательство,
которое использует методы из различных областей. Ну проблема и близнецов и проблема
Эйлера это проблемы из одного класса задач, которыми занимается теория распределения
простых чисел в последовательностях. Методы обычно одни и те же. Например решето.
Но чем реже распределение тем обычно труднее исследовать. С простыми числами и
то вопрос не решен до конца, хотя американцы и обещали миллион зелени, никто не
предложил пока решение.