О счетности булеана счетного множества

[snegirevnp]

Википедия говорит, что есть открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества A и B, что мощность множества A меньше мощности множества B и мощность множества B меньше мощности множества всех подмножеств множества A: |A|<|B|<|P(A)| ?

Данная проблема основывается на том, что мощность бесконечного множества А меньше мощности булеана данного бесконечного множества Р(А) : |A|<|P(A)|

Докажем, что булеан счетного множества P(A) счетен.

Представим бесконечное счетное множество А как

a1 , a2 , a3 , ...

Возьмем произвольное подмножество А, изобразим его как

ki: {ai1 , ai2 , ai3 , … , aij-1 , aij , aij+1, ...} , где i - порядковый номер данного подмножества, ki - некое число, однозначно характеризующее данное подмножество, aij - значение 0 или 1 , говорящее, что элемент с порядковым номером j множества А относится к данному подмножеству

Договоримся, что ki = сумма aij*2^(j-1), ( для j от 1 до бесконечности) т.е. пустое подмножество будет иметь k1=0.

Подмножество, состоящее только из первого элемента a1 будет иметь k2=1 и так далее.

Тогда для множества всех подмножеств Р(А) получим

k1=0 0 , 0 , 0 , 0 , … , 0 , …
k2=1 1 , 0 , 0 , 0 , … , 0 , …
k3=2 0 , 1 , 0 , 0 , … , 0 , …
k4=3 1 , 1 , 0 , 0 , … , 0 , …
k5=4 0 , 0 , 1 , 0 , … , 0 , …
...
ki=сумма aij*2^(j-1) ai1 , ai2 , ai3 , … , аij , …
для j от 1 до бесконечности

Остается вопрос, чему равно ki для подмножества, состоящего из всех элементов множества А?

Представим подмножества Р(А) следующим образом:

k1=0 0 , 0 , 0 , 0 , … , 0 , …
k2=1 1 , 1 , 1 , 1 , … , 1 , …
k3=2 1 , 0 , 0 , 0 , … , 0 , …
k4=3 0 , 1 , 1 , 1 , … , 1 , …
k5=4 0 , 1 , 0 , 0 , … , 0 , …
k4=5 1 , 0 , 1 , 1 , … , 1 , …
k5=6 1 , 1 , 0 , 0 , … , 0 , …
k4=7 0 , 0 , 1 , 1 , … , 1 , …
k5=8 0 , 0 , 1 , 0 , … , 0 , …
k4=9 1 , 1 , 0 , 1 , … , 1 , …
...
Для j от 1 до бесконечности:
если i нечетный:
ki=2*(сумма aij*2^(j-1)) ai1 , ai2 , ai3 , … , аij , …
если i четный:
ki=2*(сумма (1-aij)*2^(j-1))+1 ai1 , ai2 , ai3 , … , аij , …

Таким образом мы можем пронумеровать каждое подмножество множества А, а значит посчитать булеан Р(А). Т.е. булеан счетного множества А счетен, что и требовалось доказать.

[INGELRII]

Чему равно $k$ для, например, подмножества, состоящего из всех элементов, кроме самого первого?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.