2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Базис
Сообщение17.04.2008, 22:02 
Аватара пользователя
Помогите решить такую задачку.
Дана система векторов $\alpha _1,\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5, \alpha _6$ , в которой $ \alpha _3$ = (0, 1, 1, 2), $\alpha _4$= (1, 1, 1, 3), $\alpha _5$= (1, 0, –2, –1), $\alpha _6$= (1, 0, 1, 2). Дополнить линейно независимую часть $\alpha _1, \alpha _2$ до базиса системы векторов $\alpha _1,\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5, \alpha _6$ и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.
$\alpha _1$=(4, 1, 3, 8), $\alpha _2$=(7, –1, 0, 6).
Вообще не знаю что делать :(

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:10 
Аватара пользователя
Для начала возьмите следующий вектор $\alpha_3$ и подумайте, можно ли его выразить линейно через первые два.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:11 
Аватара пользователя
Я бы делал так: записал вектора в одну матрицу $4\times6$ и с помощью элементарных преобразований над строками привёл эту матрицу к ступенчатому виду. Дальше и решать уже нечего.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:14 
Аватара пользователя
RIP, боюсь, что таким образом мы ответим только на часть вопроса, т.е. поймем, какие из шести векторов образуют базис. Чтобы выразить остальные через этот базис, придется еще поработать. Так что я бы двигался пошагово.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:16 
Максимальное количество векторов в базисе, очевидно, равно 4, остальные 2 представляются в виде линейной комбинации остальных. Если ранг матрицы, составленной из векторов $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$,отличен от 0, то
$\alpha_5=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\lambda_3\alpha_3+\lambda_4\alpha_4$
$\alpha_6=\mu_1\alpha_1+\mu_2\alpha_2+\mu_3\alpha_3+\mu_4\alpha_4$

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:18 
Аватара пользователя
PAV писал(а):
RIP, боюсь, что таким образом мы ответим только на часть вопроса, т.е. поймем, какие из шести векторов образуют базис. Чтобы выразить остальные через этот базис, придется еще поработать. Так что я бы двигался пошагово.

По-моему, так мы сможем ответить сразу на весь вопрос, поскольку при элементарных преобразованиях над строками не меняются линейные соотношения между столбцами матрицы, а для ступенчатой матрицы выразить все столбцы через базис не представляет трудностей.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:23 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
По-моему, так мы сможем ответить сразу на весь вопрос, поскольку при элементарных преобразованиях над строками не меняются линейные соотношения между столбцами матрицы, а для ступенчатой матрицы выразить все столбцы через базис не представляет трудностей.


Да, согласен.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 22:41 
Аватара пользователя
Составляю матрицу
$$  \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1  \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0  \\ 3 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 8 & 6 & 2 & 3 & -1 & 2 \end{array} \right) $$
Привожу к степенчатому виду
$$  \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1  \\ 0 & -11 & 4 & 3 & -1 & -1  \\ 0 & 0 & -10 & -52 & -25 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 39 & 0 & 11 \end{array} \right) $$
Так?

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 23:08 
Аватара пользователя
Мироника писал(а):
Так?

Нет, начиная с третьей строчки ошибка (я правильно понял, что Вы не меняли местами строки?)

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

В любом случае, первые 4 вектора линейно зависимы.

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 23:36 
Аватара пользователя
Да, действительно получается так
$$ \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -11 & 4 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -10 & -13 & -25 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$
И что дальше? Как сделать вывод?

 
 
 
 
Сообщение17.04.2008, 23:54 
Аватара пользователя
Мироника писал(а):
И что дальше? Как сделать вывод?

RIP писал(а):
при элементарных преобразованиях над строками не меняются линейные соотношения между столбцами матрицы

Это значит, что если какой-то столбец в полученной матрице линейно выражается через остальные, то ровно то же самое соотношение выполняется и для столбцов исходной матрицы, т.е. для $\alpha_j$ (преобразование над строками соответствуют тому, что мы просто меняем базис в пространстве, соответственно меняются координаты $\alpha_j$). Грубо говоря, Вы можете считать, что $\alpha_j$ - это столбцы окончательной матрицы. Можете ли Вы теперь ответить на вопросы задачи? (Понимаете ли Вы вообще, о чём Вас спрашивают?)

 
 
 
 
Сообщение18.04.2008, 00:05 
Аватара пользователя
Честно говоря, не очень эту задачу понимаю.
Но попробую предположить, что касается
Мироника писал(а):
Дополнить линейно независимую часть $\alpha _1, \alpha _2$ до базиса системы векторов $\alpha _1,\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5, \alpha _6$

следует записать, что на основании полученной матрицы получаем базис $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ . Да? Но мне кажется, что здесь в базисе должно быть четыре вектора. Или нет?

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

и вместо $ \alpha _3$ можно взять и $ \alpha _4$, и $ \alpha _5$, и $ \alpha _6$

 
 
 
 
Сообщение18.04.2008, 00:09 
Аватара пользователя
Мироника писал(а):
...на основании полученной матрицы получаем базис $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ . Да?...и вместо $ \alpha _3$ можно взять и $ \alpha _4$, и $ \alpha _5$, и $ \alpha _6$

Верно.

Мироника писал(а):
Но мне кажется, что здесь в базисе должно быть четыре вектора. Или нет?

Или нет. Данная система имеет ранг 3, как Вы показали, поэтому и векторов в базисе должно быть 3.

 
 
 
 
Сообщение18.04.2008, 00:15 
Аватара пользователя
Спасибо.
А как
Мироника писал(а):
все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису

Это можно из той же матрицы записать? Не могу сообразить как....

 
 
 
 
Сообщение18.04.2008, 00:18 
Аватара пользователя
Мироника писал(а):
Это можно из той же матрицы записать? Не могу сообразить как....

Допустим, Вам надо выразить $\alpha_4$ через $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ (пусть мы их взяли в качестве базиса). Это значит, что надо решить некоторую систему линейных уравнений. Решаем её методом Гаусса (знаете такой?). Если немного подумать, то можно понять, что прямой ход метода Гаусса мы уже проделали :D...

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group