Базис

[Мироника]

Помогите решить такую задачку.
Дана система векторов $\alpha _1,\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5, \alpha _6$ , в которой $ \alpha _3$ = (0, 1, 1, 2), $\alpha _4$= (1, 1, 1, 3), $\alpha _5$= (1, 0, –2, –1), $\alpha _6$= (1, 0, 1, 2). Дополнить линейно независимую часть $\alpha _1, \alpha _2$ до базиса системы векторов $\alpha _1,\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5, \alpha _6$ и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.
$\alpha _1$=(4, 1, 3, 8), $\alpha _2$=(7, –1, 0, 6).
Вообще не знаю что делать

[PAV]

Для начала возьмите следующий вектор $\alpha_3$ и подумайте, можно ли его выразить линейно через первые два.

[RIP]

Я бы делал так: записал вектора в одну матрицу $4\times6$ и с помощью элементарных преобразований над строками привёл эту матрицу к ступенчатому виду. Дальше и решать уже нечего.

[PAV]

RIP, боюсь, что таким образом мы ответим только на часть вопроса, т.е. поймем, какие из шести векторов образуют базис. Чтобы выразить остальные через этот базис, придется еще поработать. Так что я бы двигался пошагово.

[Andrey_SR]

Максимальное количество векторов в базисе, очевидно, равно 4, остальные 2 представляются в виде линейной комбинации остальных. Если ранг матрицы, составленной из векторов $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$,отличен от 0, то
$\alpha_5=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\lambda_3\alpha_3+\lambda_4\alpha_4$
$\alpha_6=\mu_1\alpha_1+\mu_2\alpha_2+\mu_3\alpha_3+\mu_4\alpha_4$

[RIP]

PAV писал(а):

RIP, боюсь, что таким образом мы ответим только на часть вопроса, т.е. поймем, какие из шести векторов образуют базис. Чтобы выразить остальные через этот базис, придется еще поработать. Так что я бы двигался пошагово.

По-моему, так мы сможем ответить сразу на весь вопрос, поскольку при элементарных преобразованиях над строками не меняются линейные соотношения между столбцами матрицы, а для ступенчатой матрицы выразить все столбцы через базис не представляет трудностей.

[PAV]

RIP писал(а):

По-моему, так мы сможем ответить сразу на весь вопрос, поскольку при элементарных преобразованиях над строками не меняются линейные соотношения между столбцами матрицы, а для ступенчатой матрицы выразить все столбцы через базис не представляет трудностей.

Да, согласен.

[Мироника]

Составляю матрицу

$$ \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 8 & 6 & 2 & 3 & -1 & 2 \end{array} \right) $$

Привожу к степенчатому виду

$$ \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -11 & 4 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -10 & -52 & -25 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 39 & 0 & 11 \end{array} \right) $$

Так?

[RIP]

Мироника писал(а):

Так?

Нет, начиная с третьей строчки ошибка (я правильно понял, что Вы не меняли местами строки?)

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

В любом случае, первые 4 вектора линейно зависимы.

[Мироника]

Да, действительно получается так

$$ \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -11 & 4 & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -10 & -13 & -25 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

И что дальше? Как сделать вывод?

[RIP]

Мироника писал(а):

И что дальше? Как сделать вывод?

RIP писал(а):

при элементарных преобразованиях над строками не меняются линейные соотношения между столбцами матрицы

Это значит, что если какой-то столбец в полученной матрице линейно выражается через остальные, то ровно то же самое соотношение выполняется и для столбцов исходной матрицы, т.е. для $\alpha_j$ (преобразование над строками соответствуют тому, что мы просто меняем базис в пространстве, соответственно меняются координаты $\alpha_j$). Грубо говоря, Вы можете считать, что $\alpha_j$ - это столбцы окончательной матрицы. Можете ли Вы теперь ответить на вопросы задачи? (Понимаете ли Вы вообще, о чём Вас спрашивают?)

[Мироника]

Честно говоря, не очень эту задачу понимаю.
Но попробую предположить, что касается

Мироника писал(а):

Дополнить линейно независимую часть $\alpha _1, \alpha _2$ до базиса системы векторов $\alpha _1,\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4, \alpha _5, \alpha _6$

следует записать, что на основании полученной матрицы получаем базис $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ . Да? Но мне кажется, что здесь в базисе должно быть четыре вектора. Или нет?

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

и вместо $ \alpha _3$ можно взять и $ \alpha _4$, и $ \alpha _5$, и $ \alpha _6$

[RIP]

Мироника писал(а):

...на основании полученной матрицы получаем базис $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ . Да?...и вместо $ \alpha _3$ можно взять и $ \alpha _4$, и $ \alpha _5$, и $ \alpha _6$

Верно.

Мироника писал(а):

Но мне кажется, что здесь в базисе должно быть четыре вектора. Или нет?

Или нет. Данная система имеет ранг 3, как Вы показали, поэтому и векторов в базисе должно быть 3.

[Мироника]

Спасибо.
А как

Мироника писал(а):

все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису

Это можно из той же матрицы записать? Не могу сообразить как....

[RIP]

Мироника писал(а):

Это можно из той же матрицы записать? Не могу сообразить как....

Допустим, Вам надо выразить $\alpha_4$ через $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ (пусть мы их взяли в качестве базиса). Это значит, что надо решить некоторую систему линейных уравнений. Решаем её методом Гаусса (знаете такой?). Если немного подумать, то можно понять, что прямой ход метода Гаусса мы уже проделали ...