Математика для взрослого обывателя

[maxcho]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1402802 писал(а):

maxcho в сообщении #1402686 писал(а):

и да, отсутствие физического смысла тормозит.

Математика самодостаточна и в физике для разъяснения концепций не нуждается. По поводу геометрического смысла, физического смысла и прочего "понимания" (что только под этим словом не понимают люди), мне очень нравится цитата фон Неймана:

Цитата:

Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them.

Конечно, Нейман говорит не о том, что стараться понять математику не надо, а о том, что такое есть это самое "понимание" в математике. Оно уж точно не имеет никакого отношения ни к физике, ни к школьной геометрии.

Т.е. отчасти математика все-таки есть навык. В части запоминания определений и привычки к свойствам тех или иных выражений. Допустим, я могу чисто аналитически вывести формулу разности квадратов, «из головы», но не могу этого сделать, не будучи привыкшим к правилам, скажем, умножения и сложения одночленов.

[worm2]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1402279 писал(а):

общеобразовательная математика абсолютно бессодержательна, а та, что вертится вокруг физико-математических школ и олимпиад, просто бессмысленна, и не имеет никаких пересечений ни с прикладной, ни с фундаментальной математикой.

На всякий случай зафиксирую своё категорическое несогласие с процитированным. Хотя бы для того, чтобы не возникло ощущения, что это хорошо известный факт, с которым здесь все согласны.
maxcho, вы можете заниматься любой математикой, которая вам нравится, на том уровне, который вам нравится. И как минимум один человек на этом форуме не будет называть это бессмысленной недоматематикой.

[maxcho]

worm2
спасибо за поддержку, в той песочнице, где я копаюсь, это не лишнее.

[Yadryara]

worm2 в сообщении #1402834 писал(а):

И как минимум один человек на этом форуме не будет называть это бессмысленной недоматематикой.

Как минимум двое.

maxcho, а вы хорошо понимаете, почему принято, что $0!=1$ ? Понимаете, что это удобно?

[maxcho]

YadryaraПонять я могу это так:

$(n-1)!=n!/n$
следовательно
$(3-1)!=6/3$
аналогично
$(1-1)!=1/1$
из чего следует
$0!=1$

вопрос удобства мне трудно оценить на нынешнем этапе, пока моя задача не путать n и n! в формуле.

[Yadryara]

maxcho, ну вот видите как здорово. Вы сами находите приемлемые и понятные для вас обоснования. Так что, потенциал у вас есть и вы многое сможете.

С конкретными же задачами лучше обращаться в ПР/Р.

[vpb]

maxcho в сообщении #1402833 писал(а):

Т.е. отчасти математика все-таки есть навык.

В весьма малой части. Условно говоря, навык --- это $5\%$, а $95\%$ --- понимание. Если же понимания $20\%$, а оставшиеся $80\%$ --- навык, то это говорит об отсутствии понимания. То, что Вы привыкли в школе "на автомате" переносить из правой части в левую с противоположным знаком, не понимая смысла этого действия --- это плохо. Ведь смысл же тут совершенно прозрачен:

Евклид писал(а):

И если от равных отнимем равные, то получим равные.

(Однако, смысл многих вещей нельзя словами, или простенькими наглядными образами, передать из одной головы в другую (такая передача --- особое искусство). Его часто надо открыть для себя самостоятельно.)

-- 03.07.2019, 10:47 --

Yadryara в сообщении #1402841 писал(а):

Как минимум двое.

Думаю, гораздо больше, чем двое.
Думаю еще вот что. Однажды GOLOTOPAXPOP спросили, в косвенном виде, "а не Вербицкий ли Вы ?". И он это не отрицал. Судя по другим его высказываниям, именно так (хайли лайкли ) и есть. А его точки зрения на преподавание-обучение-изучение математики, как известно, являются весьма экстремальными и их мало кто разделяет.

-- 03.07.2019, 11:07 --

Что там имел в виду Нейман, когда говорил, что в математике не понимают вещи, а привыкают к ним, в каких обстоятельствах и кому это было сказано --- совершенно неизвестно. Я бы предположил, что это означает "я вижу, что вы не понимаете этих вещей, но объяснить их вам не могу, ибо неизъяснимо, и вообще Божья воля, что вы их не понимаете".

[GOLOTOPAXPOP]

vpb в сообщении #1402886 писал(а):

Что там имел в виду Нейман, когда говорил, что в математике не понимают вещи, а привыкают к ним, в каких обстоятельствах и кому это было сказано --- совершенно неизвестно. Я бы предположил, что это означает "я вижу, что вы не понимаете этих вещей, но объяснить их вам не могу, ибо неизъяснимо, и вообще Божья воля, что вы их не понимаете".

Я привел эту цитату в контексте того, что в математике существует своё понимание, опирающееся на язык логики и на базовые концепции, вроде множества, функции и т.д., не имеющее отношения к "физическому" или "геометрическому" (слово "геометрический" я подразумеваю в его общеупотребительном смысле, а не в математическом) смыслу. Не надо искать в математических объектах какой-то метафизический смысл, который сразу все упростит. К некоторым вещам действительно нужно привыкнуть, и тогда придет то, что называют пониманием. И уж точно я не говорил о том, что надо, например, решать уравнения, не понимая смысла элементарных алгебраических преобразований.

vpb в сообщении #1402886 писал(а):

А его точки зрения на преподавание-обучение-изучение математики, как известно, являются весьма экстремальными и их мало кто разделяет.

И я не разделяю. Особенно его фиксацию на обучении по листочкам в высоком теме. Впрочем в том, что программа не должна на 60-70% состоять из анализа (а на оставшиеся 20-30% из всякой финансовой математики и механики), он прав.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

"Я не Вербицкий, я другой!
Ещё неведомый избранник..."

[Munin]

Некоторые точки зрения достойны того, чтобы их разделять, несмотря на то (и даже именно потому), что они экстремальные.

[Евгений Машеров]

Мне кажется, что стоит уточнить, что в конкретном случае понимается под "пониманием". Я бы выделил хотя бы три уровня (хотя, наверно, их больше, и есть разные формы).
1. "Обывательский" - когда есть приятное чувство, что понял. Смог объяснить, через уже известное.
2. "Практический" - когда способен применить это на практике. Вот тут может быть "обрыв понимания" в первом смысле. Появляются вещи, которые противоречат бытовой интуиции, и надо "заткнуться и считать".
3. "Верхний" - когда способен улучшить. Тут объясняется уже не через бытовые понятия, а через понятия в основе данной науки, а также через результаты других дисциплин. И вновь возвращается "понимание" в смысле ощущения, что всё логично, нет "фактов под зубрёжку", они вытекают из неких принципов.
Но чтобы достичь третьего, надо оторваться от первого и пройти второй уровень, механически запоминая и нарабатывая навык манипуляций. Скорбя при этом "Ниччего не понимаю!". Но утешаясь тем, что "работает!"

[maxcho]

Евгений Машеров в сообщении #1403099 писал(а):

Мне кажется, что стоит уточнить, что в конкретном случае понимается под "пониманием". Я бы выделил хотя бы три уровня (хотя, наверно, их больше, и есть разные формы).
1. "Обывательский" - когда есть приятное чувство, что понял. Смог объяснить, через уже известное.
2. "Практический" - когда способен применить это на практике. Вот тут может быть "обрыв понимания" в первом смысле. Появляются вещи, которые противоречат бытовой интуиции, и надо "заткнуться и считать".
3. "Верхний" - когда способен улучшить. Тут объясняется уже не через бытовые понятия, а через понятия в основе данной науки, а также через результаты других дисциплин. И вновь возвращается "понимание" в смысле ощущения, что всё логично, нет "фактов под зубрёжку", они вытекают из неких принципов.
Но чтобы достичь третьего, надо оторваться от первого и пройти второй уровень, механически запоминая и нарабатывая навык манипуляций. Скорбя при этом "Ниччего не понимаю!". Но утешаясь тем, что "работает!"

Есть еще чудесное побочное «пролистал справочник, в целом все понятно, но в частных примерах нужно скрипеть мозгом и разбираться в деталях». Вот заставить себя сесть и вдумчиво досконально разобраться, это пожалуй (для меня) самое трудное. А так пффф дифференциалы? Ну понятно в общих чертах же, скорость прироста функции, все дела. Синус? Да что я про этот треугольник не знаю?.. А как берешься нарисовать график, случается много затупов озарений.

Всегда чувствую, что отлично разбираюсь в науке, когда пролистываю книжку и всегда чувствую, что никогда в ней не разберусь полностью, когда решаю один конкретный пример.

[fred1996]

maxcho
Ну да.
На начальном этапе синус - это треугольник.
Потом поймете, что это окружность.
А потом поймете, что это даже не окружность, а экспонента.
В процессе понимания важно гармоничное сочетание фиксации понимания и обозревания горизонта дальнейшего познания.

Пока человек способен расширять горизонты своего познания, он подобен ученому, или как выражался Фрэнсис Бэкон - Творцу.
Как только он остановился в своем развитии, он превратился в инженера или обычного препода.

[beroal]

vpb в сообщении #1402886 писал(а):

Ведь смысл же тут совершенно прозрачен:
Евклид
wrote:
И если от равных отнимем равные, то получим равные.

Подозрительно похоже на доказательство, что можно переносить с противоположным знаком, в теории групп. То есть понимание — это доказательство?

(Оффтоп)

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1402962 писал(а):

vpb в сообщении #1402886

wrote:
Что там имел в виду Нейман, когда говорил, что в математике не понимают вещи, а привыкают к ним, в каких обстоятельствах и кому это было сказано --- совершенно неизвестно. Я бы предположил, что это означает "я вижу, что вы не понимаете этих вещей, но объяснить их вам не могу, ибо неизъяснимо, и вообще Божья воля, что вы их не понимаете".
Я привел эту цитату

А цитата ли это? По-моему, просто анекдот. Помню, я не нашёл надёжного источника, когда его впервые прочитал. На английском этот анекдот звучал так. Студент попросил фон Неймана что-то объяснить. Фон Нейман долго объяснял. В конце студент сказал: «Спасибо, но я всё равно ничего не понял». И дальше фон Нейман говорит это знаменитое высказывание.

[maxcho]

Книжка Куранта, кстати, офигенская. Прям то, что нужно.