Об векторном поле в декартовых координатах

[misha.physics]

Здравствуйте.
В общем, я хотел понять, правильно ли я понимаю тензорное поле в декартовых координатах, но, думаю, можно для простоты начать с векторного поля, поскольку последующее обобщение мне кажется не очень сложным. Но сейчас ощущается некоторый беспорядок в голове. Конкретных вопросов нет, просто подскажите пожалуйста, где у меня здесь проблемы в понимании (я думаю они есть).

Рассмотрим трёхмерное эвклидово пространство $E^3$ точек, выберем одну из них и обозначим через $O$. Возьмем три взаимно ортонормированные векторы. Обозначим (упорядочим) эту тройку ортов $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$. Получили базис. Совместим начала наших ортов с точкой $O$ (но мне кажется, это необязательно, имея ввиду свободные векторы). Получили декартовую прямоугольную систему координат с началом в точке $O$. Каждой точке $M$ эвклидового пространства можно соотнести радиус-вектор $\vec{r}_M=\overrightarrow{OM}$. Координаты этого вектора $(x^1,x^2,x^3)$ в нашем базисе и будут координатами точки $M$. Они могут быть получены как проекции конца вектора $\vec{r}_M$ на оси декартовой системы координат. Пусть теперь каждой точке нашего пространства ставится в соответствие вектор $\vec{a}$ с началом в этой точке. Тогда говорят что у нас есть векторное поле. (Я могу себе это представить, например, как каждой точке жидкости можно приписать вектор её скорости в этой точке.) Значит у нас есть векторнозначная функция $\vec{a}=\vec{a}(M)$, аргументом которой служат точки нашего пространства $M$. Точка $M$ имеет координаты $(x^1,x^2,x^3)$, значит у нас есть векторная функция трёх переменных $\vec{a}=\vec{a}(x^1,x^2,x^3)$. Вектор $\vec{a}$ имеет в нашем базисе координаты $(a^1,a^2,a^3)$. Эти координаты вектора $\vec{a}$ можно найти спроектировав этот вектор на наши координатные оси (по принципу "от координат конца вектора отнимаем координаты его начала"). Итак, наше векторное поле можно задать тремя скалярными функциями трех независимых переменных $a^1=a^1(x^1,x^2,x^3)$, $a^2=a^2(x^1,x^2,x^3)$, $a^3=a^3(x^1,x^2,x^3)$. На этом пока остановимся.

1) Правильно ли, что систему координат в нашем пространстве мы здесь задаем только один раз и навсегда в том смысле, что мы только один раз выбираем любую точку $O$ и связываем с ней базис, то есть, нам не нужно переносить начало системы координат в ту точку, значение векторной функции (векторного поля) в которой мы в данном случае рассматриваем?

2) Вот я писал, что выберем ортонормированный базис, но нормировать орты можно в некотором масштабе. Я могу выбрать две различные точки пространства, суть, начало и конец некоторого вектора $\vec{e}_1$. Я могу сказать, что длина этого вектора равна $1\text{ см}$. Потом я могу выбрать другие две различные точки задающие некоторый вектор $\vec{a}$. Я могу его разложить в базисе как $\vec{a}=a^i\vec{e}_i$. Пусть длина (модуль) этого вектора $5\text{ см}$. Правильно ли, что размерность модуля вектора несут на себе его координаты $a^i$?

3) Пусть вектор $\vec{a}$ действительно представляет собой вектор скорости, то есть, у нас есть векторное поле скоростей. Тогда у нас есть векторное поле $\vec{v}=\vec{v}(\vec{r})$, $\vec{r}=x^i\vec{e}_i$ - радиус вектор точки пространства. Тогда $\vec{v}=v^i\vec{e}_i$, значит размерность $x^i$ это, скажем, метры, а $v^i$, скажем, метры в секунду. Получается, что у нас есть одно эвклидово пространство, один базис, и вместе с этим у нас есть векторы различной природы.

4) Я читал, что если мы выберем любую точку $M$ евклидового пространства и рассмотрим всевозможные векторы с началом в этой точке (и также нулевой вектор) то полученное множество векторов (вместе с некоторыми линейными операциями и свойствами) будет линейным векторным пространством. Получается, что векторное поле, в таком виде как оно у нас есть, скажем поле скоростей не будет линейным пространством.

5) Вообще, я путаюсь, я знаю, что базис можно вводить в линейном (векторном) пространстве, но как это перенести на векторные поля. Правильно ли то, что я писал выше, что мы вводим базис в эвклидовом пространстве. Это ведь точечное пространство а не векторное. Я понимаю, что их ассоциируют посредством радиус-векторов точек, но как быть, собственно с векторным полем, векторы которого берут начало в разных точках?

И если говорить о тензорных полях, пока что в эвклидовом пространстве в декартовых координатах, то здесь у нас просто получаются более размерные массивы чисел, представляющие координаты этих тензоров в некотором заданном базисе. То есть, здесь тоже не нужно вводить базис или систему отсчёта в каждой точке пространства, да?

Перечитую я эти пункты и кажется мне, что я бред какой-то написал. Может, исходя из вышенаписанного, вы лучше чем я поймёте, в чем моя проблема (не)понимания этой абстрактной линейной алгебры...

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1399420 писал(а):

Перечитую я эти пункты и кажется мне, что я бред какой-то написал. Может, исходя из вышенаписанного, вы лучше чем я поймёте, в чем моя проблема (не)понимания этой абстрактной линейной алгебры...

Кажется, проблема в попытках смешивания формализации существенно разных уровней там, где это не требуется.

Вы определитесь, на каком уровне абстракции хотите работать. Если вектор - это "направленный отрезок, соединяющий две точки", то не стоит говорить о базисах, тензорах и т.п. Если вектор - "элемент векторного пространства", то не стоит поминать точки начала и т.п. Иначе попытка упомянуть все сразу и в одном месте приведет к получению неосознаваемой каши.

[misha.physics]

Pphantom, похоже, действительно смешиваю.

Вот, я бы хотел лучше различать, понимать и пользоваться понятиями точечного пространства, линейного (векторного) пространства, векторного поля и последующего обобщения на тензорные поля. Я думал, что говоря, например, о векторном поле скоростей в жидкосте, я могу себе представить вектор как направленный отрезок, торчащий из каждой точки жидкости. И говоря о базисах, я тоже могу себе вообразить тройку стержней, символизирующих базисные векторы. Но, например, рассматривая векторную функцию векторного аргумента (по сути векторное поле) $\vec{a}(\vec{r})$ я прихожу в замешательство от того, что у меня здесь вообще говоря два векторы разной природы. Достаточно ли мне в пространстве одного базиса для разложения каждого из них. И что мне понимать под упомянутым пространством. Это видимо должно быть линейное (векторное) пространство. Какая роль точечного пространство во всем этом. Точки пространства можно ассоциировать с их радиус-векторами, но как соотносить точечное пространство и векторное поле, где мы откладываем векторы не от начала системы координат. Есть ли вооблще смысл говорить о началах векторов если мы говорим о векторах как об элементах векторного пространства. В чем скрывается размерность этих векторов. И тому подобные вещи. Так что похоже я сам не знаю, какой уровень абстракции мне нужен. Ну разве что для понимания физики... Но возможно этого мне мало, я чувствую дискомфорт от неуверенного использования мною понятий.

-- 15 июн 2019, 22:03 --

И на счёт смешивания различных уровней формализации, нельзя ли их как-то согласовать, чтобы это не запутывало, так сказать?

-- 15 июн 2019, 22:19 --

Пока я понимаю, что взяв эвклидово пространство, выбрав в нем любую точку $O$ и откладывая от неё направленные отрезки, имеющие конец в любой другой точке (или в той же самой, это будет нулевой вектор), мы получим векторное пространство, если концы этих направленных отрезков, берущие начало в точке $O$, заполнят все точки пространства. Как построить здесь базис мне вроде понятно. Нужно взять упорядоченный набор линейно независимых векторов среди имеющихся у нас. Коэффициенты в разложении любого вектора по данному базису и будут координатами даного вектора в данном базисе. Для векторов нам вообще не нужна система координат, она нужна для указания координат точек.

[Connector]

misha.physics в сообщении #1399426 писал(а):

Есть ли вообще смысл говорить о началах векторов если мы говорим о векторах как об элементах векторного пространства.

Я понимаю так: векторное пространство — это абстрактная алгебраическая система;

(Оффтоп)

кстати, думаю, что формально её корректнее всего определить как тройку, состоящую из абелевой группы, поля и внешней функции

система свободных векторов, определённых, скажем, как классы направленных отрезков — это одна из возможных интерпретаций этой системы.

Цитата:

Правильно ли то, что я писал выше, что мы вводим базис в эвклидовом пространстве. Это ведь точечное пространство а не векторное. Я понимаю, что их ассоциируют посредством радиус-векторов точек, но как быть, собственно с векторным полем, векторы которого берут начало в разных точках?

Думаю, все правильно: координаты векторов — это алгебраические значения их проекций на оси координат, и неважно, от каких точек отложены векторы, ведь так.

Цитата:

Я читал, что если мы выберем любую точку $M$ евклидового пространства и рассмотрим всевозможные векторы с началом в этой точке (и также нулевой вектор) то полученное множество векторов (вместе с некоторыми линейными операциями и свойствами) будет линейным векторным пространством. Получается, что векторное поле, в таком виде как оно у нас есть, скажем поле скоростей не будет линейным пространством.

Если все свободные векторы отложены от одной точки, то полученные связанные векторы действительно образуют векторное пространство; если от разных, то конечно нет, и придётся оперировать свободными.

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1399426 писал(а):

Я думал, что говоря, например, о векторном поле скоростей в жидкосте, я могу себе представить вектор как направленный отрезок, торчащий из каждой точки жидкости.

Можете.

misha.physics в сообщении #1399426 писал(а):

Но, например, рассматривая векторную функцию векторного аргумента (по сути векторное поле) $\vec{a}(\vec{r})$ я прихожу в замешательство от того, что у меня здесь вообще говоря два векторы разной природы. Достаточно ли мне в пространстве одного базиса для разложения каждого из них.

А почему он должен быть одинаковым (и вообще почему пространство одно)? Функция - это множество упорядоченных пар, в которых первый и второй элементы совсем не обязаны быть элементами какого-то одного множества, пространства и т.п.

[Munin]

misha.physics
Наверное, надо начать с того, что тут сама система понятий зависит от того, какого уровня книжку вы читаете. То есть, на самом деле имеют место несколько систем понятий. Авторы книги знают, в какой системе понятий живут, и рассчитывают на то, что читатель тоже окажется с подходящей подготовкой. Но бывает, когда читатель научен систематически только достаточно базовой системе, а заглянул случайно в книжку более продвинутую.

Грубо говоря, можно очертить такие варианты:
1. Абсолютно-координатный мир. Возникает, если отождествлять точки пространства и наборы чисел (двойки, тройки). Тензоров нет, вместо них матрицы.

Это детский мир, самое начало 1-го курса. Плюс, матанализ живёт в таком мире довольно долго.

2. Аксиоматический бескоординатный мир. Понятия векторного и точечного пространства вводятся аксиоматически, а предыдущий случай - пример таких пространств. Изоморфизмы разных пространств. Базисы и замены координат. Система координат может быть прямолинейная, но не декартова. Могут быть введены векторы и ковекторы, тензоры, внешние формы.

Это линейная алгебра, 1-й курс.

3. Криволинейные системы координат. Здесь приходится различать базисы в разных точках. Векторы обычно понимаются как "бесконечно малые", или построенные из "бесконечно малых" (например, вектор скорости в жидкости). Могут быть введены различные инструменты для дифференцирования и интегрирования. Тензоры, опять же.

Обычно нужно, например, для механики сплошной среды. Примерно 2-3-й курс.

4. Само пространство тоже может стать не плоским, а искривлённым. Аппарат дифференциальной геометрии. Вектор в таком пространстве отложить просто нельзя, поэтому необходимо отложить его в касательном пространстве в данной точке. Другое понятие: путь между точками пространства - может быть описан как интеграл от бесконечно малых векторов в соответствующих касательных пространствах - он не является вектором. Метрика, связность, сечения расслоений, в тяжёлых случаях топология.

Это либо у математиков, либо в редкой особо продвинутой физике, пожалуй, не раньше 3-го курса.

Поэтому вам сначала надо сориентироваться, о какой системе понятий вы хотите говорить. С какой вы знакомы. В какой хотите разобраться. И где и в каком контексте вам встретились трудности понимания.

[misha.physics]

Connector,

Connector в сообщении #1399431 писал(а):

система свободных векторов, определённых, скажем, как классы направленных отрезков — это одна из возможных интерпретаций этой системы.

Я читал о похожем, что множество классов, называемое фактормножеством будет векторным пространством.

Pphantom,

Pphantom в сообщении #1399432 писал(а):

А почему он должен быть одинаковым (и вообще почему пространство одно)? Функция - это множество упорядоченных пар, в которых первый и второй элементы совсем не обязаны быть элементами какого-то одного множества, пространства и т.п.

То есть нужно рассматривать $\vec{a}(\vec{r})$ как отображение из одного векторного пространства в другое, в каждом из которых задан свой базис, по которому мы расскладываем наши векторы. Значит для каждой "природы" векторов существует свое векторное пространство со своим базисом.

Munin,

Munin в сообщении #1399435 писал(а):

Абсолютно-координатный мир. Возникает, если отождествлять точки пространства и наборы чисел (двойки, тройки).

Вот, кстати, часто говорят, зададим в нашем евклидовом пространстве систему координат, но для этого нужно задать базис из векторов, но его мы можем задать в векторном пространстве, а не в точечном евклидовом.

Munin в сообщении #1399435 писал(а):

Поэтому вам сначала надо сориентироваться, о какой системе понятий вы хотите говорить. С какой вы знакомы. В какой хотите разобраться.

Как говорил Pphantom, я сваливаю все в одну кучу. У меня сама по себе возникает такая цепочка рассуждений:

Значит векторное поле $\vec{a}(M)$ это просто само отображение точки точечного пространства $M$ на вектор $\vec{a}$ - элемент векторного пространства. Векторы $\vec{a}$ живут в векторном пространстве векторов $\vec{a}$ у них есть свой базис. В векторном пространстве у нас нет точек, есть только элементы - векторы $\vec{a}$. Значит бессмысленно говорить о точках приложения этих векторов в векторном пространстве. А когда мы хочем нарисовать эти векторы как стрелки, торчащие из каждой точки жидкости, то мы как-бы достаем эти векторы из их векторного пространства, сохраняя их ориентацию и длину. Т.е. сама жидкость в векторном пространстве не существует. Но мы должны в каждую её точку вставить по вектору. Где мы это делаем? В эвклидовом точечном пространстве? А где у нас сама жидкость? А что значит "сохранить ориентацию и длину вектора" при переносе его из векторного пространства туда, где есть жидкость? Или не нужно ничего никуда переносить. Я здесь меняю "уровень формализации", но как ещё сделать тот мостик между этими разными уровнями? Итак, у нас есть отображение - векторное поле, т.е. каждой точке соответствует вектор (вектор скорости). Каждой точке чего? Точечного пространства? Какого, евклидового? Раз это точечное пространство, то я не могу здесь ни рассматривать векторы, ни тем более их базис. Или думать так, что, вот я выбрал любую точку точечного пространства и назвал её $O$. Теперь я выбираю другую точку. Теперь перехожу в векторное пространство радиус-векторов точек точечного пространства и нахожу там нужный мне вектор $\vec{r}_M$. Там у него есть друзья - базисные векторы, для которых не имеет смысла говорить, что они все отложенные от одной точки (точек в векторном пространстве нет, там есть только векторы), главное, чтобы они были линейно независимы. Для того чтобы разложить вектор $\vec{r}_M$ по этому базису нам нужно ещё поле действительных чисел, которые живут ещё в другом мире, в котором есть только эти числа. После разложения вектора по базису я получаю его координаты - числа. Теперь у меня есть векторная функция от трёх чисел $\vec{a}(x^1,x^2,x^3)$. Вектор $\vec{a}$ живет в своем векторном пространстве, отличном от векторного пространства радиус-векторов, со своим базисом, а его координаты в числовом поле действительных чисел. Поскольку это просто числа, то они живут в том же поле, что и координаты вектора $\vec{r}_M$. Вектор $\vec{a}$ можно тоже разложить в своем базисе, тогда мы получим отображение $a^i=a^i(x^k)$ где $i,k=1,2,3$.

Munin в сообщении #1399435 писал(а):

И где и в каком контексте вам встретились трудности понимания.

Возможно, то что я писал выше является бесполезным, просто мне хочется расставить это в своей голове, но перейду к контексту. Решил почитать брошюру "Шарипов Р. Быстрое введение в тензорный анализ (2004)". В начале 3-й части есть вывод 19.1:


В отличие от свободных тензоров, тензорные поля связаны не с базисами, а с целыми системами координат (включающими начало координат). В каждой системе координат они представлены функциональными массивами.


Ну понятно, нам нужна система координат, потому что есть поле, каждой точке ставится в соответствие тензор, значит нам нужно эти точки как-то задавать. Получаем

$$X^{i_1...i_r}_{j_1...j_s}=X^{i_1...i_r}_{j_1...j_s}(x^1,x^2,x^3)$$

Потом идет замена декартовой системы координат. Изменяются и координаты тензоров и координаты точек пространства. Приводятся формулы этих переходов, и там и там применяются одинаковые матрицы $S^i_j$ и $T^i_j$. А это значит, что у нас один базис и для радиус-векторов точек и для тензоров в этих точках, что-то это меня смущает, ведь выше я писал, что для разных объектов у нас есть свое векторное пространство. Да ещё и не до конца понятно как мы в совокупности с этим рассматрываем точки. Или у нас в каждой точке есть свое векторное пространство. Или это была плохая идея лезть в тоненькую книжечку.

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1399478 писал(а):

Вот, кстати, часто говорят, зададим в нашем евклидовом пространстве систему координат, но для этого нужно задать базис из векторов, но его мы можем задать в векторном пространстве, а не в точечном евклидовом.

В таких случаях неявно подразумевается, что между ними существует очевидный изоморфизм, после чего содержательная разница пропадает.

misha.physics в сообщении #1399478 писал(а):

То есть нужно рассматривать $\vec{a}(\vec{r})$ как отображение из одного векторного пространства в другое, в каждом из которых задан свой базис, по которому мы расскладываем наши векторы. Значит для каждой "природы" векторов существует свое векторное пространство со своим базисом.

В общем-то да. Это не только формально правильнее, но и очевидно удобнее с практической точки зрения.

[misha.physics]

Я там ещё глупость написал, базисы разные, есть же символ крестика в кружочке

[Someone]

misha.physics в сообщении #1399478 писал(а):

Вот, кстати, часто говорят, зададим в нашем евклидовом пространстве систему координат, но для этого нужно задать базис из векторов, но его мы можем задать в векторном пространстве, а не в точечном евклидовом.

Если Вам нужны и точки, и векторы, то есть понятие аффинного пространства.
Аффинное пространство включает множество точек $S$, векторное пространство $V$ и отображение $S\times S\to V$, которое каждой упорядоченной паре точек $(A,B)$ множества $S$ ставит в соответствие вектор $\overline{AB}\in V$, причём, выполняются следующие условия:
1) для каждой точки $A\in S$ выполняется $\overline{AA}=\mathbf{0}$ (нулевой вектор);
2) $\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$;
3) для каждой точки $A\in S$ и каждого вектора $\mathbf{a}\in V$ существует единственная точка $B\in S$ такая, что $\overline{AB}=\mathbf{a}$.

Системой координат в аффинном пространстве называется совокупность из точки $O\in S$ (начало системы координат) и базиса линейного пространства $V$.

Добавление. Забыл сказать, что координатами точки $A$ в указанной системе координат называются координаты вектора $\overline{OA}$ в базисе, входящем в систему координат.

[pogulyat_vyshel]

Сначала надо освоить алгебраическую теорию тензоров т.е. тензор как объект, определенный на векторном пространстве. Мне нравится Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия.
Потом надо переходить к понятию тензорного поля на многообразии. Начать можно с Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

-- 16.06.2019, 16:12 --

Someone в сообщении #1399518 писал(а):

Если Вам нужны и точки, и векторы, то есть понятие аффинного пространства.

Точки и векторы в данном контексте это понятия многообразия и векторных полей на нем, а аффинное пространство -- это частный случай многообразия, причем очень неудачный в методическом смысле, потому, провоцирует смешивать очень разные структуры

[Someone]

pogulyat_vyshel в сообщении #1399519 писал(а):

Точки и векторы в данном контексте это понятия многообразия и векторных полей на нем, а аффинное пространство -- это частный случай многообразия

Извините, но начинать с понятия многообразия и векторных полей, едва-едва ознакомившись с понятием линейного пространства…

[misha.physics]

Спасибо вам всем. Я вижу, что снова иду не тем путем. Я попробую по-другому. Возьму рекомендуемые (сейчас и ещё ранее в моих прошлых темах) книги. А то меня угнетает мое пустословство, использование мало понимаемых мною понятий и фактов, усвоенных обрывками в процессе смены различных книг в поисках чего-то сказочно легкого. Нужно менять способ обучения, а то никакого прогресса не наблюдается (как и по многим другим моим темам).

Делаю ещё одну попытку последовательно сначала читать Ефимова и Розендорна. Уже начинал её читать, но как всегда, сначала все понятно, потом пара непонятных моментов и забрасывание. То же и с Современной геометрией, и с Рашевским.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1399478 писал(а):

Как говорил Pphantom, я сваливаю все в одну кучу.

Вам посоветовали этого не делать, а наоборот, разложить всё по полочкам. Вы продолжаете. Видимо, намеренно. Так вы никуда не придёте и ничего не достигнете.

misha.physics в сообщении #1399478 писал(а):

Или это была плохая идея лезть в тоненькую книжечку.

Видимо, да, причём сама книжечка не факт что хорошая. (Мне её название ни о чём не говорит, а много рекомендуемых книг я слышал.)

-- 16.06.2019 18:15:29 --

misha.physics в сообщении #1399541 писал(а):

Уже начинал её читать, но как всегда, сначала все понятно, потом пара непонятных моментов и забрасывание.

Вот в этот момент надо:
- спросить помощи на форуме и в других местах: у коллег (одногруппников), у преподавателей;
- сориентироваться, что возможно, требуется прочитать какой-то боковой предварительный материал; опознать его, найти по нему хороший источник, и добрать необходимое;
- опознать, что необходимо приложить усилия, чтобы разобраться в сложном факте, рассуждении, выполнить какие-то упражнения и другие самостоятельные действия; заставить себя сделать это;
- по советам сориентироваться, что трудное место можно "обойти", прочитав в другой книге более понятное объяснение, или материал в другом порядке изложения.

[misha.physics]

Munin, да, попробую этот способ. Как дойду до первого непонятного момента в упомянутой книжке по линейной алгебре - приложу усилий, попрошу помощи.