Об векторном поле в декартовых координатах

[misha.physics]

Пробую. Пара моментов из книги "Ефимов, Розендорн. Линейная алгебра и многомногомерная геометрия (2004)". Практически, начало, думаю, пока нет необходимости создавать новую тему. Ни в коем случае не хочу показаться педантичным, но получается следующее.

1) Как я понял, есть по крайней мере два способы разбиения множества $L$ на классы равных элементов. 1-й способ это заранее задание такого разбиения некоторым образом. Тогда элементы, принадлежащие какому-нибудь классу считаются равными. 2-й способ это мы сначала задаем условия, при которых элементы считаются равными, тогда они будут формировать класс. При задании упомянутых условий нужно выполнение трех обстоятельств, но они мне понятны, поэтому не будем о них. Этим 2-м способом задается, например, класс равных свободных векторов в следующем параграфе. Вопрос: а можно придумать пример иллюстрирующий 1-й способ разбиения множества на классы заранее (изначально)?

2) Говорится "Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве множество всех геометрических векторов". Потом говорится "Таким образом, речь идет о свободных векторах, точка приложения которых может выбираться произвольно". Решил посмотреть определение евклидового пространства в той же книге. Узнал, что под евклидовым пространством понимают как линейное пространство с некоторой квадратической метрикой (сейчас не важно), так и афинное пространство, если соответствущее ему линейное пространство является евклидовым. Ну вот, назвали два разных понятия одним словом, а я потом мучаюсь Зато для линейного пространства у нас есть ещё избыточное название векторного пространства. Но это ещё не всё. Заглянул ещё в книгу "Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (1998)", там дается определение линейного (афинного) пространства, причем определение точно такое же, как определение линейного (векторного) пространства в той книге, которую я сейчас читаю...

3) Говорится "Геометрические векторы с указанным определением линейных операций образуют действительное линейное пространство". Уточняющий момент: поскольку классы равных векторов это подмножества множества $L$, то линейное пространство это множество $L$ с заданными на нем линейными операциями и т.д... Но в книге "Шарипов. Быстрое введение в тензорный анализ (2004)" я читал, что "свободные векторы, взятые как они есть, не формируют линейное векторное пространство". Там линейное пространство образуют элементы, которые есть классами равных векторов. По-моему, здесь есть различие в этих двух формулировках.

-- 16 июн 2019, 22:41 --

Я думаю, что все геометрические векторы (они же свободные (снова непонятно, зачем усложнять все несколькими понятиями одного и того же)) образуют линейное пространство, поскольку точка их приложения не важна, ведь все векторы какого-то класса считаются равными, тем самым аксиомы линейного пространства выполняются для множества всех свободных векторов, рассматриваемых вместе со своими копиями, полученными путем параллельного переноса.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

1) Как я понял, есть по крайней мере два способы разбиения множества $L$ на классы равных элементов.

Это на нормальном современном языке называется задать на множестве отношение эквивалентности.
Посмотрите (хоть в Википедии), что такое отношение, и частный случай - отношение эквивалентности.

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

Вопрос: а можно придумать пример иллюстрирующий 1-й способ разбиения множества на классы заранее (изначально)?

Ну например, я беру множество $\{1,2,3,4,5\},$ и делю его на два класса эквивалентности: $\{1,2\}$ и $\{3,4,5\}.$ Почему я его так поделил - я никому не обязан объяснять, и какими общими свойствами обладают элементы, попавшие в один класс, тоже не обязан задавать. Просто из этого деления (на непересекающиеся подмножества) возникает отношение эквивалентности

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &1&2&3&4&5\\ \hline 1&\sim&\sim&\nsim&\nsim&\nsim\\ \hline 2&\sim&\sim&\nsim&\nsim&\nsim\\ \hline 3&\nsim&\nsim&\sim&\sim&\sim\\ \hline 4&\nsim&\nsim&\sim&\sim&\sim\\ \hline 5&\nsim&\nsim&\sim&\sim&\sim\\ \hline\end{array}$

-- 17.06.2019 00:14:39 --

Слово аффинное пишется с двумя ф, поскольку происходит из ad +‎ fīnis (конечный согласный приставки в латинском языке часто ассимилируется с последующим согласным корня - кстати, "ассимиляция" тоже пример этого).

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

Вопрос: а можно придумать пример иллюстрирующий 1-й способ разбиения множества на классы заранее (изначально)?

Вообще математически это всё едино: когда мы имеем разбиение множества, мы имеем и отношение эквивалентности на нём, и каноническую проекцию, сопоставляющую элементу множества класс, в который он входит, а когда имеем второе, имеем опять же все три. И третья вроде кажется вещью производной от двух первых, но можно определить её так, что её можно будет задать «сначала» и потом получить остальное — просто взять любую сюръекцию $f\colon L\to C$, где $C$ какое угодно множество, смысл элементов которого быть «названиями» классов, определять их взаимно однозначно. Тогда эквивалентность на $L$ мы получим так: $x_1\sim_f x_2\Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)$, а классами разбиения будут множества уровня $f$ — полные прообразы разных элементов $C$. Если не различать две такие сюръекции $f_1\colon L\to C_1, f_2\colon L\to C_2$, когда $f_1 = c\circ f_2$, где $c$ — какая-нибудь биекция, то и получим третий «независимый» способ задать факторизацию. Но всё это взгляды на одно и то же. И если даже у нас недостаточно места в голове, чтобы представить ясно какую-то из сторон, это не сделает ситуацию ущербной.

С приходом алгебры у нас появляется возможность ещё четвёртого взгляда — факторизовать по каким-то особым подструктурам (по нормальной подгруппе, по идеалу кольца), «положив» их элементы равными нулю (только для них есть смысл таком выразиться). В частности, в линейном пространстве как группе по сложению любое подпространство — нормальная подгруппа (потому что сложение коммутативно), и с умножением на скаляр всё тут тоже хорошо взаимодействует, и потому мы можем факторизовать линейное пространство по любому подпространству.

Впрочем, ладно, вот вам сразу разбиение, дающее свободные векторы: назовём множество пар точек параллелограммным, если для любых двух пар $(A, B), (A', B')$ из него четырёхугольник $ABB'A'$ — параллелограмм. Нужными классами будут такие параллелограммные множества («наибольшие»), добавление в которые какой угодно не принадлежащей им пары точек сделает их не параллелограммными. Можно будет показать, что они образуют разбиение (то есть попарно не пересекаются и в объединении дают множество вообще всех пар точек).

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

2) Говорится "Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве множество всех геометрических векторов". Потом говорится "Таким образом, речь идет о свободных векторах, точка приложения которых может выбираться произвольно".

Вероятно, имеется в виду вообще школьное пространство, оно же евклидово аффинное — но в школе-то оно определяется иначе, синтетическими аксиомами, так что заранее не известно, что оно то же самое, и наверняка не предполагается, что вы должны будете искать его определение глубоко ниже по тексту, чтобы понять.

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

Но в книге "Шарипов. Быстрое введение в тензорный анализ (2004)" я читал, что "свободные векторы, взятые как они есть, не формируют линейное векторное пространство". Там линейное пространство образуют элементы, которые есть классами равных векторов. По-моему, здесь есть различие в этих двух формулировках.

Вообще когда говорят о свободных векторах, это и должны быть классы эквивалентности «фиксированных векторов» (хитроумное название для упорядоченных пар точек, множество которых мы факторизуем). Ещё те люди любят вводить «скользящие векторы» — недофакторизованные фиксированные, эквивалентные только с получающимися от переноса вдоль себя, а не куда угодно (такие объекты оказываются недостаточно полезными и, надеюсь, скоро окончательно уйдут из образования). Говорить «геометрический вектор», как у вас, мне видится самым хорошим занятием, ни с чем оно не путается и потом без проблем покидает сцену (а свободные устойчиво ассоциируются со скользящими и связанными, а эта трихотомия бесполезна).

[Someone]

misha.physics
Вы совершенно напрасно читаете несколько разных книг. В каждой из них используется свой собственный подход (язык), не совместимый с другими. Нужно выбрать одну книгу и хорошо разобраться в ней, забыв пока про остальные. Когда Вы хорошо разберётесь в теме, Вы сможете читать другие книги и переводить с одного языка на другой. Тогда Вам будет видно, что противоречий нет, или же они имеют чисто терминологический характер.

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

а можно придумать пример иллюстрирующий 1-й способ разбиения множества на классы заранее (изначально)?

Пусть, например, $L$ — это плоскость. Разобьём её на параллельные прямые.

misha.physics в сообщении #1399610 писал(а):

они же свободные (снова непонятно, зачем усложнять все несколькими понятиями одного и того же)

Ну, помимо свободных векторов, часто рассматриваются приложенные (те самые направленные отрезки) и (сейчас редко) скользящие (точку приложения которых можно перемещать вдоль прямой, на которой лежит вектор). Они все, некоторым образом, "геометрические".

[misha.physics]

Munin, т.е. есть по крайней мере два способа задать на множестве отношение эквивалентности. 1-й способ, это мы "руками распределяем" элементы множества по классам не задавая каких-то общих условий, каким они должны удовлетворять (это уже будет 2-способ). Как я вижу из Википедии, равенство это только один из примеров отношения эквивалентности, и у меня здесь речь идет именно о равенстве элементов линейного пространства.

arseniiv,

arseniiv в сообщении #1399629 писал(а):

Вообще когда говорят о свободных векторах, это и должны быть классы эквивалентности «фиксированных векторов» (хитроумное название для упорядоченных пар точек, множество которых мы факторизуем).

Т.е. один свободный вектор это один отвечающий ему класс эквивалентности, в который входит этот вектор и все его копии, получаемые параллельным переносом. Фиксированные векторы это элеметы принадлежащие какому-то из классов или фиксированный вектор это другое название для класса эквивалентности? Нашёл, что факторизация множества это разбиение этого множества на классы эквивалентных элементов. У нас множество это все свободные векторы, т.е. все классы, множество всех этих классов это фактормножество. Т.е. линейное пространство свободных векторов это множество классов с лин. операциями и т.д., т.е. фактормножество вместе с заданными на нем лин. операциями задает линейное пространство. Свободный вектор это то же что и геометрический?

Someone,

Someone в сообщении #1399633 писал(а):

Пусть, например, $L$ — это плоскость. Разобьём её на параллельные прямые.

А как мы будем делать это разбиение? Разве это не будет иллюстрацией 2-го способа, когда мы задаем условия, которым должны отвечать элементы нашего множества, отнесенные к некоторому классу? Ведь когда мы говорим "на параллельные прямые", то здесь уже содержится условие. И если плоскость это линейное пространство, то что является его элементами? Геометрические векторы?

-- 17 июн 2019, 12:41 --

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

Т.е. один свободный вектор это один отвечающий ему класс эквивалентности, в который входит этот вектор и все его копии, получаемые параллельным переносом.

Ой, если мы говорим о линейном пространстве, элементами которого являются свободные векторы (классы), то получается, у нас нет элементов входящих в каждый из класс. Но класс это ведь подмножество...

-- 17 июн 2019, 13:08 --

1) Можно ли считать, что в нулевом пространстве есть несколько (конечное или бесконечное количество) копий нулевого элемента? Тот же вопрос относительно координатного пространства $K_n$ или любого другого лин. пространства не только по отношению к нелевому элементу, но и к любому другому, то есть что они просто совпадают. Или в этом нет смысла?

2) Пусть мы рассматриваем координатное линейное пространство (или пространство матриц) элементами которого являются наборы из $n$ ($mn$) комплексных чисел. Могут ли некоторые (или все) из этих чисел быть действительными, имея ввиду, что $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$? То же относится и к тому, когда мы говорим, что мы умножаем элементы нашего лин. пространства на комплексные числа.

[Connector]

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

А как мы будем делать это разбиение? Разве это не будет иллюстрацией 2-го способа, когда мы задаем условия, которым должны отвечать элементы нашего множества, отнесенные к некоторому классу? Ведь когда мы говорим "на параллельные прямые", то здесь уже содержится условие.

Первый способ в данном случае выглядит так: рассматриваем множество всех прямых плоскости, параллельных (в расширительном смысле) заданной, и соотносим каждой из них класс всех лежащих на ней точек. (Доказать, что полученные классы образуют разбиение плоскости, легко).
Второй способ: полагаем, что две точки свяаны отношением $R$ е. т. е. существует прямая, параллельная заданной и проходящая через две эти точки ($R$ — отношение эквивалентности).

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

Ой, если мы говорим о линейном пространстве, элементами которого являются свободные векторы (классы), то получается, у нас нет элементов входящих в каждый из класс. Но класс это ведь подмножество...

Теперь (в векторном пространстве) векторы (классы) — это элементы (думаю, можно уже забыть о том, как мы их вводили, о том, что это подмножества множества связанных векторов). Точно так же, в пространстве, элементами которого являются свободные векторы, у них нет копий.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

Как я вижу из Википедии, равенство это только один из примеров отношения эквивалентности, и у меня здесь речь идет именно о равенстве элементов линейного пространства.

Слово "равенство" вообще неудачно в этом смысле. Оно пострадало от школьного курса геометрии. Математики пытаются использовать другие слова, чтобы восстановить аккуратность.

Лучше сказать так: тождественность - это только один из примеров отношения эквивалентности. Тождественность - это такая эквивалентность, когда какой-то элемент эквивалентен только самому себе. Есть и другая крайность: все элементы можно считать эквивалентными друг другу - она бесполезна, но встречается :-)

Слово "равенство" интуитивно и означает тождественность, но в этом смысле оно используется только в школьной алгебре (точнее, там надо подразумевать равенство значений, но не будем лезть в эти тонкости). А вот в школьной геометрии "равными" называют две геометрические фигуры, даже когда они расположены в разных местах, повёрнуты относительно друг друга, или даже зеркально отражены. Это равенство не есть тождественность, в чём вы можете убедиться, представив себе отношение тождественности двух фигур как

"каждая точка одной фигуры имеет те же координаты, что и соответствующая точка другой фигуры".

Колмогоров попытался заменить в школьном курсе геометрии слово "равенство" на слово конгруэнтность, которое и является настоящим математическим названием для этого отношения эквивалентности геометрических фигур. Но не получилось переломить традицию.

Однако два "школьных вектора" (направленных отрезка, как например, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ в параллелограмме $ABCD$) "равны" друг другу и не в смысле тождественности, и не в смысле конгруэнтности. Для этого отношения нет слова в математике, поскольку с точки зрения математики тут вообще нет двух векторов: тут есть один вектор из линейного пространства (у слова линейное пространство есть синоним векторное пространство), но сам параллелограмм не лежит в этом линейном пространстве - он лежит в точечном пространстве. И в этом же точечном пространстве лежат эти два направленных отрезка, которые оба соответствуют одному вектору. Поэтому, слово "равны" здесь использовать сложно, к тому же надо различать разные пространства и объекты разных типов.

Так что, $[\overrightarrow{AB}]=[\overrightarrow{DC}]$ - это отношение тождественности элементов линейного пространства. Мы просто один и тот же элемент назвали разными именами.

----------------

Уточню, что всё это я написал "на уровне 1 и 2" по нумерации, введённой в post1399435.html#p1399435 . Считаю, что лезть на уровни 3 и 4 вам пока рано, с вашим background-ом. Для того, чтобы их обсуждать, все эти вещи типа линейных пространств должны быть освоены уже до беглости и автоматизма.

Слова "свободный вектор", "фиксированный вектор", "геометрический вектор" лучше вообще выкинуть из головы. ("Геометрический вектор" встречается сильно позже и с другим смыслом.)

[misha.physics]

Один вывод непонятен. Что $\alpha a=\beta a$ это то же самое, что $\alpha a+(-\beta a)=\theta$. Пытаюсь доказать так: $\alpha a+(-\beta)a=\alpha a+(-1\cdot\beta)a=\alpha a+(-1)(\beta a)=\alpha a+(-\beta a)=\theta$. Обозначаю $\alpha a=x$, $\beta a=y$, получаю $x+(-y)=\theta$. Отсюда видно, что элемент $(-y)$ обратный элементу $x$, значит $-y=-x$. Осталось доказать, что из этого следует $x=y$, но здесь не знаю как двинуться далее. Мы ведь пока как-бы не знаем, что можно умножить слева и справа на $(-1)$.

Обозначения: $a$ - произвольный вектор, $\theta$ - нулевой вектор, $\alpha,\beta$ - произвольные числа.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

Фиксированные векторы это элеметы принадлежащие какому-то из классов или фиксированный вектор это другое название для класса эквивалентности?

Не, не, это просто пары точек. Потому я бы не использовал это название далее, я его привёл просто для знакомства с тем, откуда вообще пошло и название «свободные» (как часть той троицы). Если говорить о парах (упорядоченных; обычно это опускается, потому что про неупорядоченные можно будет сказать, что это-де просто множество из двух элементов), то вас должны понять абсолютно везде, а если о ф. в., то только те, кто столкнулся с этой, ещё раз надеюсь, уходящей частью языка, а таких меньше, даже если она упорно будет выживать.

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

У нас множество это все свободные векторы, т.е. все классы, множество всех этих классов это фактормножество. Т.е. линейное пространство свободных векторов это множество классов с лин. операциями и т.д., т.е. фактормножество вместе с заданными на нем лин. операциями задает линейное пространство.

Да, в том смысле, что задаёт это конкретное линейное пространство, а для произвольного не важно, фактормножество ли чего-то его носитель.

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

Свободный вектор это то же что и геометрический?

По вашим упоминаниям я решил, что да. Если нет, то придётся, видимо, некоторое время говорить «свободный», пока мы работаем с векторами как факторизованными парами.

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

И если плоскость это линейное пространство, то что является его элементами? Геометрические векторы?

Сама по себе плоскость не линейное пространство, это был просто пример на факторизацию. Если выбрать в ней одну точку $O$ и назвать её нулём, то тогда мы уже можем определить линейную структуру: сложением двух точек $A, B$ назовём вершину $C$ параллелограмма $OACB$ (такая точка найдётся ровно одна), и умножением $A$ на число $c$ назовём действие гомотетии с центром $O$ и коэффициентом растяжения $c$ на $A$. Это альтернативное изложение того, что можно будет каждой точке $A$ сопоставить свободный вектор $\overrightarrow{OA}$ и перенести на точки операции, заданные на этих векторах.

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

1) Можно ли считать, что в нулевом пространстве есть несколько (конечное или бесконечное количество) копий нулевого элемента? Тот же вопрос относительно координатного пространства $K_n$ или любого другого лин. пространства не только по отношению к нелевому элементу, но и к любому другому, то есть что они просто совпадают. Или в этом нет смысла?

Нет, нулевой элемент один, и не только в нулевом пространстве. Тут есть простое классическое доказательство:

Пусть $0', 0''$ — два нулевых элемента, тогда имеем $0' = 0' + 0'' = 0''$ — первый переход потому что $0''$ нулевой, а второй потому что $0'$ нулевой — и в результате мы получили, что они один и тот же элемент, то есть два разных нам никак найти не получится.

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

2) Пусть мы рассматриваем координатное линейное пространство (или пространство матриц) элементами которого являются наборы из $n$ ($mn$) комплексных чисел. Могут ли некоторые (или все) из этих чисел быть действительными, имея ввиду, что $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$? То же относится и к тому, когда мы говорим, что мы умножаем элементы нашего лин. пространства на комплексные числа.

Да, конечно могут. Выделять комплексные числа с ненулевой мнимой частью иногда нужно, но тогда и говорят длинно: а просто «комплексное» это любое комплексное, включая вещественные, так же как «рациональное» не означает лишь нецелые рациональные.

(Оффтоп)

Строго говоря, комплексное число $2_{\mathbb C}$ и вещественное число $2_{\mathbb R}$ (и например целое число $2_{\mathbb Z}$) не обязаны быть одним и тем же. Но так как в $\mathbb C$ есть подмножество, на котором операции $+, \cdot$ себя ведут так же как на $\mathbb R$ (изоморфное как кольцо, можно сказать), и притом только одно такое подмножество, то естественно считать, что $\mathbb R\subset\mathbb C$. Вообще же если начать определять всё строго, такое «включение на самом деле» будет устроить трудновато, если не делать крюков. Однако эта деталь скорее относится к области оснований математики; раз есть лишь один способ вложить нечто изоморфное $\mathbb R$ в $\mathbb C$, то совершенно естественно считать, что само $\mathbb R$ туда и вложено.

-- Пн июн 17, 2019 18:00:23 --

misha.physics в сообщении #1399717 писал(а):

Один вывод непонятен. Что $\alpha a=\beta a$ это то же самое, что $\alpha a+(-\beta a)=\theta$. Пытаюсь доказать так: $\alpha a+(-\beta)a=\alpha a+(-1\cdot\beta)a=\alpha a+(-1)(\beta a)=\alpha a+(-\beta a)=\theta$. Обозначаю $\alpha a=x$, $\beta a=y$, получаю $x+(-y)=\theta$. Отсюда видно, что элемент $(-y)$ обратный элементу $x$, значит $-y=-x$. Осталось доказать, что из этого следует $x=y$, но здесь не знаю как двинуться далее. Мы ведь пока как-бы не знаем, что можно умножить слева и справа на $(-1)$.

Обозначения: $a$ - произвольный вектор, $\theta$ - нулевой вектор, $\alpha,\beta$ - произвольные числа.

Как-то вы через Антарктиду пошли в магазин. Вот есть $x = y$. Прибавим к обоим частям равенства $-y$ и получим $x + (-y) = y + (-y)$. Дальше по аксиоме нуля получим $x + (-y) = \theta$. Теперь можно по желанию заменить $x$ на $\alpha a$ и $y$ на $\beta a$. Если вы потом хотите прийти к $(\alpha-\beta)a = \theta$, то остаётся применить ещё парочку аксиом.

[misha.physics]

1)

arseniiv в сообщении #1399725 писал(а):

Да, конечно могут. Выделять комплексные числа с ненулевой мнимой частью иногда нужно, но тогда и говорят длинно: а просто «комплексное» это любое комплексное, включая вещественные, так же как «рациональное» не означает лишь нецелые рациональные.

В связи с этим у меня есть следующий вопрос.
Рассмотрим множество $L$ всевозможных упорядоченных наборов из $n$ комплексных чисел в каждом. Рассмотрим два линейных пространства, первое над полем $\mathbb{R}$, второе - над полем $\mathbb{C}$. В первом случае у нас есть действительное линейное пространство упорядоченных наборов комплексных чисел, а во втором - комплексное линейное пространство упорядоченных наборов комплексных чисел. В книге говорится, что это два разных линейных пространства. А мне представляется, что и там и там элементы одинаковые - это всевозможные упорядоченные наборы из $n$ комплексных чисел в каждом. Почему нельзя говорить, что эти линейные пространства одинаковые?

2)
Ещё раз о важном. В книге есть пункт "Пространство геометрических векторов". В нем говорится, что "Геометрические векторы с указанным определением линейных операций образуют действительное линейное пространство." Я представляю себе, что элементами этого линейного пространства есть геометрические векторы. Один элемент - один геометрический вектор. Один геометрический вектор - это класс, множество векторов, которые являются коллинеарными, имееют одинаковый модуль и направление. Правильно?

--------

arseniiv в сообщении #1399725 писал(а):

Как-то вы через Антарктиду пошли в магазин.

Я просто хотел обойтись без прибавления чего-то одинакового к обеим сторонам векторного равенства. Как и его умножения на одинаковое число. Но это моя глупость, уже понял.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1399753 писал(а):

А мне представляется, что и там и там элементы одинаковые - это всевозможные упорядоченные наборы из $n$ комплексных чисел в каждом. Почему нельзя говорить, что эти линейные пространства одинаковые?

Потому что линейное пространство (и любая другая алгебраическая структура) — это не только носитель (множество векторов само по себе), но и операции. И хотя операция сложения в обоих случаях одна и та же, операция умножения на скаляр уже отличается: во втором случае она как минимум определена на большем множестве $\mathbb C\times\mathbb C^n$, чем в первом — $\mathbb R\times\mathbb C^n$.

misha.physics в сообщении #1399753 писал(а):

Один геометрический вектор - это класс, множество векторов, которые являются коллинеарными, имееют одинаковый модуль и направление. Правильно?

Судя по употреблению в книге, да, геометрический вектор это то же что мы звали тут свободным. (Всё-таки как я и надеялся.) Но я бы всё-таки не стал называть пары точек векторами, так меньше путаницы.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1399717 писал(а):

$-y=-x$. Осталось доказать, что из этого следует $x=y$, но здесь не знаю как двинуться далее.

Векторы образуют группу по сложению. Докажите из аксиом группы два факта:
1) обратный элемент - единственный, то есть, если $x=y,$ то $-x=-y$;
2) обратный к обратному элементу - это исходный элемент, то есть, $-(-x)=x.$
Эти два факта в сочетании дадут вам то, что вы хотите, то есть, если $-x=-y,$ то $x=y.$

-- 17.06.2019 17:55:27 --

misha.physics в сообщении #1399753 писал(а):

В книге говорится, что это два разных линейных пространства. А мне представляется, что и там и там элементы одинаковые - это всевозможные упорядоченные наборы из $n$ комплексных чисел в каждом. Почему нельзя говорить, что эти линейные пространства одинаковые?

Потому что линейное пространство характеризуется не только множеством, но и структурой на этом множестве. Полностью оно называется "линейное пространство над полем", то есть:

- линейное пространство $\mathbb{C}^n$ над полем $\mathbb{C}$;
- линейное пространство $\mathbb{C}^n$ над полем $\mathbb{R}.$

Это две разные структуры. Например, у этих двух линейных пространств - разные размерности, $n$ и $2n.$

Есть даже вообще страшный пример. Если взять множество $\mathbb{R}$ в двух вариантах:

- как линейное пространство $\mathbb{R}$ над полем $\mathbb{R}$;
- и как линейное пространство $\mathbb{R}$ над полем $\mathbb{Q},$

то в первом случае оно будет 1-мерное, а во втором случае - бесконечномерное! (Точнее, размерность даже равна $\mathfrak{c}$ - мощности континуума.)

[misha.physics]

Итак, векторы линейного пространства образуют группу по сложению. Примем как факт.
Аксиомы группы:
1) $(a+b)+c=a+(b+c);$
2) $a+e=e+a=a;$
3) $ a+(-a)=(-a)+a=e,$
где $a,b,c$ - элементы группы, $e$ - нейтральный элемент (примем, что он единый без доказательства), $(-a)$ - элемент, обратный к $a$.
Докажем, что обратный элемент единый. Пусть $(-a_1)$ и $(-a_2)$ обратные к $a$, тогда $a+(-a_1)=e$ и $a+(-a_2)=e$, отсюда $a+(-a_1)=a+(-a_2)$, запишем $(-a_1)=(-a_1)$, прибавим к этому почленно предыдущее равенство, получаем $(-a_1)+a+(-a_1)=(-a_1)+a+(-a_2)$, отсюда $(-a_1)=(-a_2)$. Доказано.

Докажем теперь, что если $x=y$, то $(-x)=(-y)$. Имеем $x+(-x)=e$ и $y+(-y)=e$, отсюда $x+(-x)=y+(-y)$, используем, что $y=x$, тогда $x+(-x)=x+(-y)$, запишем $(-x)=(-x)$, прибавим к этому почленно предыдущее равенство, получаем $(-x)=(-y)$. Доказано. Ну а раз из $x=y$ следует, что $(-x)=(-y)$, то справедливо и наоборот.

Докажем, что $(-(-x))=x$. Имеем $x+(-x)=e$, обозначим $y\equiv(-x)$, также можно записать $y+(-y)=e$, подставим сюда $y$ через $x$, получим $-x+(-(-x))=e$, запишем $x=x$, прибавим к этому почленно предыдущее равенство, получаем $(-(-x))=x$.

Это я сам придумал, на первый взгляд мне кажется правильно, но независимо как-то получается.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1399762 писал(а):

1) обратный элемент - единственный, то есть, если $x=y,$ то $-x=-y$;

Унарную операцию $-$ мы можем ввести лишь после доказательства единственности обратного — или ввести её с самого начала, но тогда доказывать нечего, а $f(x) = f(y)$ из свойств равенства для любой $f$. И, надеюсь, это уже было пройдено в тексте ТС (раз он использует $-$). А вот инволютивность если не доказана — присоединяюсь, надо сразу с ней разобраться.

[misha.physics]

Munin в сообщении #1399762 писал(а):

Например, у этих двух линейных пространств - разные размерности, $n$ и $2n.$

Мне пока сложно представить себе линейное пространство над полем $\mathbb{C}$ и говорить о базисе в этом пространстве (дающем размерность).