Еще периодические решения

[pogulyat_vyshel]

Имеется система ОДУ

$$\dot x=f(t)-b(|x|)x,\quad x\in\mathbb{R}^m.$$

Через $|\cdot|$ обозначена стандартная евклидова норма; $f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}^m)$ -- 1-периодическая функция;
$b\in C[0,\infty)$ -- непрерывная возрастающая функция с неотрицательными значениями.
Доказать, что система имеет 1-периодическое решение. Такие системы встречаются в механике.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1399112 писал(а):

$f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}^m)$ -- 1-периодическая функция

Глупый вопрос. А $f=0$ или $f=1$ считается периодической функцией?

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1399140 писал(а):

Глупый вопрос. А $f=0$ или $f=1$ считается периодической функцией?

$f$ это всетаки вектор.
Если $f=0$ то периодическое решение -- 0.

-- 13.06.2019, 19:00 --

Константы считаются периодическими функциями

[amon]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1399148 писал(а):

Если $f=0$ то периодическое решение -- 0.

Спасибо. Это я и потерял в метро, когда просматривал Вашу задачу.

[demolishka]

Если $b \equiv 0$, то все решения периодические. Если $b \not = 0$, то векторное поле на сфере достаточно большого радиуса смотрит вовнутрь. Поэтому соответствующий шар инвариантен относительно операторов сдвига вдоль траекторий и, как следствие, отображения Пуанкаре (которое определено для точек этого шара). По теореме Брауэра есть неподвижная точка, которая и есть искомое периодическое решение.

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1399166 писал(а):

Если $b \equiv 0$, то все решения периодические. Если $b \not = 0$, то векторное поле на сфере достаточно большого радиуса смотрит вовнутрь. Поэтому соответствующий шар инвариантен относительно операторов сдвига вдоль траекторий и, как следствие, отображения Пуанкаре. По теореме Брауэра есть неподвижная точка, которая и есть искомое периодическое решение.

как-то так это наверное и должно доказываться, однако, что такое оператор сдвига в неавтономной системе и откуда взялось отображение Пуанкаре при невыполнении стандартных условий единственности -- это все требует разъяснений, как минимум

[demolishka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1399168 писал(а):

оператор сдвига в неавтономной системе

$U(t,s)x_{0} := x(t,s,x_{0})$.

pogulyat_vyshel в сообщении #1399168 писал(а):

отсутствии единственности решения

А вот на это я не обратил внимание . Без единственности конечно мое рассуждение не годится.

В неединственности могу только построить ограниченное решение в этом шаре $B$. Пусть $x_{0} \in B$ рассмотрим произвольное решение $x(t)=x(t,0,x_{0})$, которое определено при $t \geq 0$ (из соображений выше), и последовательность его сдвигов $x_{n}(t):=x(t + n), n \in \mathbb{N}$. Тогда из $x_{n}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность (по лемме Камке), очевидно, к определенному на всем $\mathbb{R}$ и ограниченному решению.

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1399169 писал(а):

$U(t,s)x_{0} := x(t,s,x_{0})$.

Все равно непонятно. Вот вы пишите:

demolishka в сообщении #1399166 писал(а):

Поэтому соответствующий шар инвариантен относительно операторов сдвига вдоль траекторий

Траектория в невавтономной системе может самопересекаться, даже если система гладкая и есть единственность. Куда сдвигаться будете из точки самопересечения?

[demolishka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1399223 писал(а):

Куда сдвигаться

Динамической системы (группы или полугруппы) они не образуют (если не выходить в расширенное фазовое пространство), поэтому они и названы просто операторами. Они определены, если выполнена единственность и продолжимость (если только вправо, то надо рассматривать $t \geq s \geq 0$), и удовлетворяют свойству

$$U(t,s) U (s,\tau)=U(t,\tau).$$

Кто-то называет их "операторами сдвига вдоль траекторий" (см. одноименную книжку М. А. Красносельского), кто-то "оператором сдвига за время от $s$ до $t$" (см. ОДУ Арнольда), кто-то "разрешающими операторами" (solving operators). В более абстрактной ситуации такие операторы называются неавтономным процессом (или просто процессом).

Удобно, например, рассматривать инвариантные множества для таких операторов: $U(t,s) B \subset B$, поскольку такое свойство часто встречается в неавтономных системах. Более того, аттракторы неавтономных динамических систем (так называемые $B$-pullback или $B$-forward аттракторы) строятся исходя из подобных предположений. Есть общая на всех слоях компактная инвариантная область $K$, а сам аттрактор строится похожим на автономную ситуацию образом, как $\omega$-предельное множество для $K$ (только уже в смысле pullback или forward).

[DeBill]

demolishka в сообщении #1399166 писал(а):

Если $b \equiv 0$, то все решения периодические. Если $b \not = 0$, то векторное поле на сфере достаточно большого радиуса смотрит вовнутрь. Поэтому соответствующий шар инвариантен относительно операторов сдвига вдоль траекторий и, как следствие, отображения Пуанкаре (которое определено для точек этого шара). По теореме Брауэра есть неподвижная точка, которая и есть искомое периодическое решение.

Ну, наверное, надо добавить, что периодическая функция ограничена, так что - да, шар такой найдется...
Ну, и вместо абы какого (вот, а как это правильно пишется?) сдвига вдоль траекторий надо смотреть сдвиг за период...

[demolishka]

DeBill в сообщении #1400200 писал(а):

сдвиг за период

Это и называется отображением Пуанкаре . Только в условиях отсутствия единственности решений эти рассуждения не работают...