Что такое угол между случайными величинами?

[starper]

Доброго времени суток! Смотрю лекции по эконометрике, и лектор во второй лекции говорит, что случайную величину можно представить вектором, не объясняя, как это делать, и далее определяет скалярное произведение между векторами как ковариацию случайных величин и из этого делается вывод, что дисперсия - это длина вектора. Не понимаю, например, какой базис в этом пространстве и чем, собственно задается случайная величина как вектор. Объясните, пожалуйста!

[alcoholist]

starper в сообщении #1398987 писал(а):

случайную величину можно представить вектором

вероятно, выборку?

[starper]

alcoholist
Насколько я понял, в видео шла речь о случайной величине именно как функции, про выборку ни слова не было

[arseniiv]

starper в сообщении #1398987 писал(а):

Не понимаю, например, какой базис в этом пространстве и чем, собственно задается случайная величина как вектор.

Собой — есть же сложение величин и умножение их на вещественные числа, и ведут они себя как надо для линейного пространства. А вот какой базис у этого пространства, зависит от вероятностного пространства, над которым берутся величины, и скорее всего выяснение его вида наглядной картины не даст.

[Vince Diesel]

Странное занятие, конечно, но как-то можно. Если ограничиться только с.в. с нулевым средним, то их можно рассматривать как элементы линейного пространства (ибо можно складывать и умножать на число). А скалярное произведение задать как $(\xi,\eta)=M\xi\eta$. Тогда $|\xi|^2=M\xi^2$. Для произвольных с.в. с конечным матожиданием рассматривать факторклассы по матожиданию.

[upgrade]

starper в сообщении #1398987 писал(а):

что дисперсия - это длина вектора

Так?:
$D=\sqrt{x_1x_1+x_2x_2...}$

[starper]

upgrade
Прошу прощения, опечатка, квадрат длины вектора как дисперсия определялась

-- 12.06.2019, 22:56 --

Предположим, что вероятностное пространство - точки на отрезке $[0,1]$, распределенные равномерно. Как можно задать базис на пространстве случайных величин на нем?

[ihq.pl]

starper в сообщении #1398987 писал(а):

дисперсия - это длина вектора

а что, нормально, мне нравится:) Только я бы назвал это не длиной, а нормой. Тогда коэффициент корреляции - это косинус угла между случайными величинами. Если они параллельны, то он равен $\pm 1$, если перпендикулярны - $0$.

[Connector]

starper в сообщении #1399002 писал(а):

Прошу прощения, опечатка, квадрат длины вектора как дисперсия определялась

Я так понимаю, что, поскольку ковариация величины и её самой равна дисперсии этой величины, а скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то, действительно, теперь по крайней мере все последовательно.

[Otta]

Vince Diesel в сообщении #1398996 писал(а):

Странное занятие, конечно, но как-то можно.

Ну почему странное. Я всю жизнь определяю ковариацию именно как скалярное произведение центрированных с.в. Удобно.

Точнее: вводится скалярное произведение нужным образом и доказывается, что оно действительно является скалярным произведением.

[ihq.pl]

starper в сообщении #1399002 писал(а):

Предположим, что вероятностное пространство - точки на отрезке $[0,1]$, распределенные равномерно. Как можно задать базис на пространстве случайных величин на нем?

Вероятностное пространство - это пространство элементарных событий с введенной на нём вероятностью и алгеброй. На этом пространстве можно рассматривать случайный величины, принимающие значения из отрезка. Другими словами, просто точки на отрезке - это недостаточно для задания вероятностного пространства.

[Otta]

starper
Зачем Вам базис? Чтобы определить скалярное произведение, базис не нужен. Нужно только знать определение скалярного произведениия. И проверить, что оно выполняется.

[arseniiv]

ihq.pl в сообщении #1399015 писал(а):

Вероятностное пространство - это пространство элементарных событий с введенной на нём вероятностью и алгеброй. На этом пространстве можно рассматривать случайный величины, принимающие значения из отрезка. Другими словами, просто точки на отрезке - это недостаточно для задания вероятностного пространства.

Ну в таком случае борелевскую обычно берут, и мера тоже понятно какая. А вот дальше будет кошмар всё равно.

[starper]

Otta в сообщении #1399014 писал(а):

Ну почему странное. Я всю жизнь определяю ковариацию именно как скалярное произведение центрированных с.в. Удобно.

Вам это как-то помогало на практике?

[ewert]

starper в сообщении #1399114 писал(а):

Вам это как-то помогало на практике?

Если есть хоть какая-то возможность ввести скалярное произведение -- его следует вводить. Скажем, такая заранее неочевидная вещь, как "коэффициент корреляции меньше единицы", оказывается тривиальным следствием общего неравенства Коши-Буняковского.