Вероятность не ждать сдачи в очереди (1 руб, 3 руб)

[marie-la]

Здравствуйте! Задача про очередь. В очереди в кассу стоят $n+m$ человек, из них $n$ имеют 1 рубль, $m$ имеют 3 рубля, $2m$\leq$n+1$. Изначально в кассе денег нет. Билет стоит 1 рубль. Найти вероятность, что никому в очереди не придется ждать сдачи.
Я нашла ответ и доказала его по индукции. Но мне так не нравится, это какое-то читерство. Есть красивое решение? Можно обобщить как-то метод отражений на этот случай?

[Connector]

Перед нами случайный процесс: с каждой покупкой число денег в кассе получает приращение $1$ или $-1$. Остаётся найти вероятность того, что это число остаётся положительным на протяжении всего процесса.
С другой стороны, условие можно переформулировать так: на каждом шаге $m_{i}$ ( число покупателей с трёшками) не должно превышать $n_{i}-1$ ($n_{i}$ — число покупателей с рублями), и тогда имеем процесс с другой величиной.
Если бы очередь была бесконечной, тогда была бы применима модель случайного блуждания, но здесь — нет! Это даже не марковский процесс.
UPD. Был неправ, все не так: необходимо учитывать не число рублей, а число рублёвых банкнот в кассе. (Эта величина получает приращение $1$ или $-2$). Величина неотрицательная, но хорошо бы определить так, чтобы была целая.

[marie-la]

Нет, ведь у кого 3 рубля, нужно дать 2 рубля сдачи - выходит, что тех, у кого 1 рубль должно все время быть не менее чем в 2 раза больше, чем тех, у кого 3 рубля. То есть если ступенчатую линию нарисовать (вверх 1 рубль, вправо 3 рубля), она должна всегда не ниже y=2x проходить. Когда 1 и 2 рубля, прямая выходит y=x, и работает принцип отражения, а тут не выходит.

[Connector]

Не знаю, какую модель здесь применить...
UPD. marie-la, Вы правы, мое условие не годится.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.