Непрерывность функции

[Werty12]

При $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$ в силу непрерывности: $f(x_0+a_1\Delta x,y_0+a_2\Delta y)=f(x_0,y_0)$. Почему это верно в силу непрерывности? По определению непрерывности функции в точке $x_0$: $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists \delta>0 \;\; \forall x: \rho(x,x_0)<\delta \;\; |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. Но из него никак не следует утверждение.

[ИСН]

У Вас функция от двух переменных, а определение непрерывности для функции от одной переменной. Ключ не налезает на гайку.

[Werty12]

ИСН
Нет, это определение для функции нескольких переменных. Тут $x$ и $x_0$ -векторы.

[ewert]

Werty12 в сообщении #1398470 писал(а):

При $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$ в силу непрерывности: $f(x_0+a_1\Delta x,y_0+a_2\Delta y)=f(x_0,y_0)$. Почему это верно в силу непрерывности?

Потому, что "$(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$" нуждается в расшифровке. Стандартно под этим понимается стремление к нулю нормы левой части. Не расстояния, как Вам кажется, а именно нормы -- раз уж аргументы дозволено умножать на числа и, стало быть, они принадлежат линейному пространству.

Дальше да, возникает вопрос, что в точности понимается под нормой. Но он празден, т.к. все нормы в данном случае эквивалентны.

[ihq.pl]

В одномерном случае утверждение тоже имеет смысл

[ИСН]

Werty12 в сообщении #1398474 писал(а):

Нет, это определение для функции нескольких переменных.

Тогда следует.

[ihq.pl]

Я почему про одномерный случай заговорил. Потому что $\Delta x = \Delta y = \delta$ при фиксированных $a_1,a_2$ - это он и будет. Суть вопроса ТС заключалась в другом, как мне каааажется:))

[ewert]

ihq.pl в сообщении #1398485 писал(а):

Я почему про одномерный случай заговорил. Потому что при фиксированных $a_1,a_2$ он и будет.

Не будет.

[ihq.pl]

ewert в сообщении #1398487 писал(а):

Не будет.

а так? (см. выше)

[Someone]

Werty12 в сообщении #1398470 писал(а):

При $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$ в силу непрерывности: $f(x_0+a_1\Delta x,y_0+a_2\Delta y)=f(x_0,y_0)$

Вы точно знаете, что там именно знак равенства следует писать? А не какую-нибудь стрелочку типа "$\to$"?
И что означают $a_1$ и $a_2$? Константы?

[Werty12]

ИСН
Почему следует?

-- 09.06.2019, 14:32 --

Someone
Да, ошибся. Должно быть стремление.

[ihq.pl]

Werty12, я понял ваш вопрос так: равносильно ли утверждение $f(x_0+a_1\Delta, y_0+a_2\Delta) \to f(x_0,y_0), \Delta \to 0$ при любых фиксированных $a_1,a_2$ тому, что $f(x,y)$ непрерывна в точке $(x_0,y_0)$. Я правильно понял?

[Werty12]

ihq.pl
Да, все верно

[Dan B-Yallay]

Werty12 в сообщении #1398470 писал(а):

По определению непрерывности функции в точке $x_0$: $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists \delta>0 \;\; \forall x: \rho(x,x_0)<\delta \;\; |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. Но из него никак не следует утверждение.

Вы можете последнее доказать или просто не видите как оно следует?

[Werty12]

Dan B-Yallay
Не вижу как следует