Непрерывность функции

[ihq.pl]

Werty12, а для случая $n=1$ можете доказать, что из непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$ следует

$$\lim\limits_{x \to x_0+0} f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0}f(x) = f(x_0)$$

?

[Dan B-Yallay]

ihq.pl в сообщении #1398500 писал(а):

Werty12, я понял ваш вопрос так: равносильно ли утверждение $f(x_0+a_1\Delta, y_0+a_2\Delta) \to f(x_0,y_0), \Delta \to 0$ при любых фиксированных $a_1,a_2$ тому, что $f(x,y)$ непрерывна в точке $(x_0,y_0)$. Я правильно понял?

Werty12 в сообщении #1398506 писал(а):

ihq.pl
Да, все верно

Во первых, Вы задавали вопрос о следовании, а не равносильности. Это разные вещи.

Werty12 в сообщении #1398513 писал(а):

Не вижу как следует

А для одномерного случая сможете показать, что из непрерывности $f$ и $a_1 \in \mathbb R$следует

$$\ \lim_{\Delta \to 0} f(x_0+ a_1 \Delta) = f(x_0) $$

[Werty12]

ihq.pl
Dan B-Yallay
Да, для функции одного переменного знаю доказательство

[Dan B-Yallay]

И в чём проблема расширить на 2 измерения?

[ihq.pl]

Werty12, на самом деле, всё просто. Если у вас в стартовом посту $f(x_0+a_1\Delta, y_0+a_2\Delta)$, а не $f(x_0+a_1\Delta x, y_0+a_2\Delta y)$, то достаточно рассмотреть функцию $g(t)=f(x_0 + a_1t, y_0 + a_2t)$ и показать, что из непрерывности $f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ следует непрерывность $g(t)$ в нуле. Скорее всего, так оно и есть. Иначе лично мне непонятен смысл коэффициентов $a_1,a_2$.