Разность степеней

[AlexanderPlus]

Уравнение 5^x - 3^y = 2$, где x,y - натуральные числа, имеет очевидное решение x = y = 1
Правильно ли я понимаю, что это единственное решение и если да, то как это доказать?

В принципе, от 2 можно избавиться:
$(5^x - 5) - (3^y -3 ) + 5 - 3 = 2$
(5^x - 5) - (3^y -3 ) = 0$
5(5^{x - 1} - 1) = 3(3^{y-1} - 1)$
но особо легче как-то не становится

[nnosipov]

AlexanderPlus в сообщении #1396974 писал(а):

но особо легче как-то не становится

Продолжайте идти дальше. Лучше ввести обозначения: $a=x-1$, $b=y-1$. Основная идея: левая часть делится на $3$, значит, $5^a-1$ делится на $3$, а значит, получаем некоторые ограничения на $a$ (какие?). Учитывая их, можно получить некоторую информацию о $b$. После этого снова уточняется информация о $a$. И так далее до тех пор, пока не будет получено противоречие.

На форуме подобных задач разбиралось довольно много, можно попробовать поискать.

Например: topic44444.html

[AlexanderPlus]

Большое спасибо, подход в post435750.html#p435750 как раз то, что надо