Сколько натуральных решений (x^n-1)/(x-1)=y^2 при x>1?

[dmd]

Для уравнения $\dfrac{(x^n-1)}{(x-1)}=y^2$ при $x>1$ известны только два натуральных решения (n,x,y)={(4,7,20),(5,3,11)}.

Какие имеются способы показать, что других решений вероятно нет?

Эта же задача на math.stackexchange.com.

Можно разделить на две подзадачи - отдельно для четных и нечетных $n$. Когда $n$ четно - правая часть уравнения видимо четный квадрат, а левая раскладывается на факторы. Когда $n$ нечетно - правая часть видимо нечетный квадрат, а левая не раскладывается на факторы.

[alcoholist]

серия $n=2$

[dmd]

alcoholist
Да, извиняюсь. Про $n$ надо было указать $n>2$, т.к. при $n=2$ серия решений тривиальна. Так же есть тривиальная серия решений для различных $n$ при $x=1$ (считая операцию деления в левой части уже выполненной).

[Sonic86]

topic101110.html

[dmd]

Sonic86
Спасибо!