При каком основании системы счисления репьюнит - квадрат?

[Ktina]

Для каждого ли репьюнита (кроме 111) можно подобрать такую позиционную систему счисления с натуральным основанием, большим 1, в которой данный репьюнит будет квадратом натурального числа?

(Скажем, для числа 1 это любая система, а для числа 11 это любая система с основанием, на 1 меньшим квадрата.
Для числа 1111 это, например, семеричная система, а для 11111 - троичная. )

[maxal]

Другими словами, вы спрашиваете для всякого ли $n\ne 3$ разрешимо уравнение

$$\frac{b^n-1}{b-1} = a^2.$$

Это частный случай так называемого Nagell-Ljunggren equation. При $n>2$ этот частный случай имеет ровно два решения - для $n=4$ и $n=5$ (указанные вами).
См., например, http://www-irma.u-strasbg.fr/~bugeaud/t ... daYann1.ps

То есть, никакой репьюнит длины большей 5 не является квадратом ни в какой системе счисления.

[Ktina]

maxal
Большое спасибо!