Замена переменных

[Norma]

Перейдя от переменных $x,y,z(x,y)$ к переменным $t,u,z(t,u)$, найти $z^{\prime\prime}_{xx}$; если $x=t \cos u $, $y=t \sin u $. У меня была идея расписать таким образом: $d^2z=z^{\prime\prime}_{xx}dx^2+2z^{\prime\prime}_{xy}dxdy+z^{\prime\prime}_{yy}dy^2=z^{\prime\prime}_{tt}dt^2+2z^{\prime\prime}_{tu}dtdu+z^{\prime\prime}_{uu}du^2$. Но это приводит к очень громоздким вычислениям. Также была идея воспользоваться теоремой об инвариантности формы первого дифференциала и найти: $z^{\prime}_{x}$; у меня получилось выражение: $z^{\prime}_{x}=t \sin u z^{\prime}_{u}+\sin u z^{\prime}_{t}$, но тогда при взятии второй производной по $x$ от $z^{\prime}_{x}$ получится 0, поскольку $t \sin u$ , $z^{\prime}_{u}$ , $\sin u$ и $z^{\prime}_{t}$ никак не зависят от $x$, но 0 - неверный ответ.

[Pphantom]

Norma, обратите все-таки внимание, что подобные темы надо создавать в разделе "Помогите решить, разобраться", а не в "Общих вопросах". Поскольку уже в четвертый раз и на информацию о переносе вы не реагируете - предупреждение.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Padawan]

Norma в сообщении #1394942 писал(а):

$d^2z=z^{\prime\prime}_{xx}dx^2+2z^{\prime\prime}_{xy}dxdy+z^{\prime\prime}_{yy}dy^2=z^{\prime\prime}_{tt}dt^2+2z^{\prime\prime}_{tu}dtdu+z^{\prime\prime}_{uu}du^2$

Нет, это не правильно. Второй дифференциал не инвариантен. Должно быть, принимая $x$ и $y$ за независимые переменные, $d^2z=z^{\prime\prime}_{xx}dx^2+2z^{\prime\prime}_{xy}dxdy+z^{\prime\prime}_{yy}dy^2=z^{\prime\prime}_{tt}dt^2+2z^{\prime\prime}_{tu}dtdu+z^{\prime\prime}_{uu}du^2+z'_td^2t+z'_u d^2 u$.

Norma в сообщении #1394942 писал(а):

Также была идея воспользоваться теоремой об инвариантности формы первого дифференциала

Вот это правильно. Первый дифференциал всегда лучше, не надо думать, что от чего зависит, все переменные равноправны.

Norma в сообщении #1394942 писал(а):

и найти: $z^{\prime}_{x}$; у меня получилось выражение: $z^{\prime}_{x}=t \sin u z^{\prime}_{u}+\sin u z^{\prime}_{t}$

Теперь пишите $dz'_x=(...)dt+(..)du$ (по правилам дифференцирования и с учетом того, что $dz'_t=z''_{tt}dt+z''_{tu}du$, $dz'_u=z''_{ut}dt+z''_{uu}du$ ). Затем подставьте сюда $dt$, $du$ выраженные через $dx$, $dy$. Коэффиициент при $dx$ и будет $z''_{xx}$.

-- Сб май 25, 2019 07:08:08 --

Norma в сообщении #1394942 писал(а):

$t \sin u$ , $z^{\prime}_{u}$ , $\sin u$ и $z^{\prime}_{t}$ никак не зависят от $x$

Как это не зависят? $t$ и $u$ зависят от $x$, $y$ в силу замены переменных. А через них и все функции: $(z'_t)'_x=z''_{tt}t'_x+z'_{tu}u'_x$. А $t'_x, t'_y, u'_x, u'_y$ надо найти, дифференцируя уравнения замены (выразить через $t,u$).

P.S. $t\sin u$ и правда не зависит от $x$, т.к. это есть $y$ $\Rightarrow$ $(t\sin u)'_x=0$.

[Norma]

Padawan
1)А как примерно должно выглядеть выражение для второго дифференциала? Я правильно понимаю, что $dx$ и $dy$ уже нельзя считать константами? 2)А если бы в задании было бы сказано: перейти к новым независимым переменным, то тогда можно было бы сказать, что вторая производная равна 0 и что второй дифференциал обладает свойством инвариантности?