2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение07.05.2019, 19:31 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
Найдите 3-параметрическое решение в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение07.05.2019, 22:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5419
Известны 2-параметрические решения, причем с $v=0$ или $z=0$:
$$(3a^2+5ab-5b^2)^3 + (4a^2-4ab+6b^2)^3 + (5a^2-5ab-3b^2)^3 = (6a^2-4ab+4b^2)^3,$$
$$(1-(a-3b)(a^2+3b^2))^3 + ((a+3b)(a^2+3b^2)-1)^3 = (a+3b-(a^2+3b^2)^2)^3 + ((a^2+3b^2)^2-a+3b)^3.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение07.05.2019, 22:48 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
Первая строка - это тождество Раманужана, второго, кажется, не встречал.
В задаче имеется в виду другое решение, в котором тождественных нулей не должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение08.05.2019, 06:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5419
scwec, оба приводятся в разделе 13.7 книги Харди и Райта (стр. 200 и около)

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение08.05.2019, 07:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5604
scwec в сообщении #1391527 писал(а):
Найдите 3-параметрическое решение в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$


Если одна из переменных нуль и всё проективизировано, то это гиперповерхность из "taxicab problem" Рамануджана. Вроде, ещё Эйлер нашёл рациональную параметризацию. Современный обзор здесь:

https://arxiv.org/abs/1510.00735

Если смотреть на полное уравнение (допустим, для начала в рациональных числах и опять же проективизированное), то известно, что соответствующая кубическая гиперповерхность не является рациональной:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_threefold

https://www.math.ucsd.edu/~eizadi/207A- ... ffiths.pdf

(в последнем тексте теорема 13.12).

С другой стороны, она унирациональна (там же Appendix B или теорему 2.9 книги Манина "кубические формы"), поэтому, по-видимому, трёхпараметрическое семейство решений должно существовать.

Разобрать доказательства и построить параметризацию мне слабо.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение08.05.2019, 11:37 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
В решении не предполагалось обращаться к высоким материям и получать из известных 2-параметрических решений 3-параметрические.
Для решения достаточно использования элементарных вещей.
Сами по себе ссылки maxal и g______d , как всегда, по делу.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение09.05.2019, 07:01 


23/02/12
1966
Я нашёл двухпараметрический частный случай, при котором все переменные целые и отличны от нуля. Правда в этом случае $u=v$. Решение основано на тождестве $[m(1+6n^3)]^3+[m(1-6n)^3]^3+(-6mn^2)^3=m^3+m^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение09.05.2019, 11:35 


26/08/11
1850
Будем решать уравнение $x^3+y^3+1=u^3+v^3$ в рациональных числах. Положим:

$\\u=x+m\\
v=y+1-m$

Тогда
1) Уравнение получится втрого порядка относительно $x,y$

2) Имеющее рациональное решение $x=0,y=m$, а значит бесконечно много, положив $y=kx+m$

Решение двухпараметрическое от рациональных параметров $(k,m)$, а значит трех или четырех параметрическое в целых.

Если ничего не напутал, четырехпараметрическое:

$\\x= -b(ac^2-ad^2-bc^2)\\
y=(bc-ad)(ac-ad-bc)\\
z=d(a^2c-a^2d-b^2c)\\
u=a(c-d)(ac-bc-bd)\\
v=c(b-a)(ac-ad-bd)$

-- 09.05.2019, 10:44 --

Решение, конечно, неполное. Тут $u+v=x+y+z$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение09.05.2019, 14:19 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
Решение Shadow понравилось. Кстати, полное решение находить и не требовалось.
Теперь, вот какое решение имелось в виду.
Получается оно из тождества $(a+b-c)^3+(a+c-b)^3+(b+c-a)^3=(a+b+c)^3-24abc$
Полагая здесь $-c=\dfrac{t^3}{24ab}$ и $a+b=n, a-b=m$ получаем
$\\x=-6m^3+6mn^2+t^3, y=6nm^2-6n^3-t^3, z=6m^3-6mn^2+t^3,
u=6nm^2-6n^3+t^3, v=6t(m^2-n^2)\\$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнен
Сообщение10.05.2019, 08:20 


23/02/12
1966
scwec в сообщении #1392000 писал(а):
Теперь, вот какое решение имелось в виду.
Полагая здесь $-c=\dfrac{t^3}{24ab}$ и $a+b=n, a-b=m$ получаем
$\\x=-6m^3+6mn^2+t^I’m 3, y=6nm^2-6n^3-t^3, z=6m^3-6mn^2+t^3,
u=6nm^2-6n^3+t^3, v=6t(m^2-n^2)\\$

Трехпараметрический случай имеет оценку сверху количества целых решений $O(N^3)$. Частный двухпараметрический случай,который указал maxal имеет оценку количества целых решений $O(N^2)$. Естественно количество решений уравнения в частном случае не должно превосходить количество решений в общем случае, поэтому количество параметров в частном случае не должно превосходить количества параметров в общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение10.05.2019, 12:08 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
Конечно, если есть желание, можно, например, посчитать количество пятёрок целых $x,y,z,u,v$ в 4-х параметрическом решении Shadow и 3-х параметрическом решении scwec в различных диапазонах, сравнить их и определить, какое из решений круче :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение10.05.2019, 13:24 


26/08/11
1850
scwec в сообщении #1392123 писал(а):
в 4-х параметрическом решении Shadow и 3-х параметрическом решении scwec
А если сравнить 4-параметрическое решение Shadow с 3-х параметрическим решением Shadow окажется, что они совпадают....вот такие вот $O(N^x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение10.05.2019, 16:41 


23/02/12
1966
Shadow
Разговор идёт об оценке количества решений в целых числах. У Вас в этом решении 4 параметра. Известно, что решение уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3$ в целых числах двухпараметрическое, поэтому уравнение scwec не может иметь более трехпараметрического решения в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение10.05.2019, 18:53 


26/08/11
1850
vicvolf в сообщении #1392168 писал(а):
Известно, что решение уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3$ в целых числах двухпараметрическое
Вряд ли. Полные решения (например Харди и Райт) как минимум 3-х параметрические. Конечно, там пропущено умножить все на общий множитель (рациональное число, знаменатель которого является НОД всех переменных, а числитель - любое целое. Без него - никак не полное, особенно в экономичном варианте). Все эти объяснения становятся лишними, когда от однородного уравнения в целых переходят в уравнение в рациональных. У уравнения

$x^3+y^3+z^3=1$ - двухпараметрическое полное решение (от рациональных параметров)

Вы сразу можете увидеть эти параметры в Задаче о четырех кубах с полными решениями, посмотрев на отношения

$x/w,y/w,z/w$ и поделив числители и знаменатели на $c^4$ (или на $t^3$ в решении Элкиес)

А у рационального параметра - числитель и знаменатель. И каждому рац. параметру в уравнении в рациональных соответствуют два параметра в уравнении в целых. Можно, конечно, и люди предпочитают привести все параметры под общий знаменатель и вместо $2n$ параметра в целых получить $n+1$. И формулы выглядят поприятнее, но тут есть свои недостатки - небольшие решения часто будут получатся при больших значениях параметров после сокращения на огромный НОД).

Так что в моем решении нет лишних параметров - наоборот - не хватает.
И в полном решении уравнения scwec могут быть и 7 параметров. И лишнего не будет.
Вообще, однородные уравнения лучше решать в рациональных - и там параметры считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: 3-параметрическое решение диофантова уравнения
Сообщение11.05.2019, 11:39 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
Одно замечание.
Уравнение $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$ приводится к уравнению в Вейерштрассовой форме для семейства эллиптических кривых $E_{z,u,v}: W^2=U^3-\frac{27}{4}(v^3-z^3+u^3)^2$
Для $z,u,v$ соответствующих найденному 3-параметрическому решению на кривых имеются рациональные точки бесконечного порядка с координатами $U,W$
Код:
U=(1/4)*(-12*n^2*m^4-12*n^4*m^2-6*n*m^2*t^3+12*n^6+6*n^3*t^3+t^6+12*n*m^5-24*n^3*m^3+12*n^5*m-6*t^3*m^3+6*t^3*m*n^2+12*m^6)/((m-n)^2*(m+n)^2)
W=(1/8)*(-t^3+3*m^3+3*n*m^2-3*m*n^2-3*n^3)*(-12*n^2*m^4-12*n^4*m^2-6*n*m^2*t^3+12*n^6+6*n^3*t^3+t^6+12*n*m^5-24*n^3*m^3+12*n^5*m-6*t^3*m^3+6*t^3*m*n^2+12*m^6)/((m-n)^3*(m+n)^3)

Удваивая и складывая полученные точки можно получить сколько угодно много рациональных 3-параметризаций исходного уравнения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group