3-параметрическое решение диофантова уравнения

[scwec]

Найдите 3-параметрическое решение в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$

[maxal]

Известны 2-параметрические решения, причем с $v=0$ или $z=0$:

$$(3a^2+5ab-5b^2)^3 + (4a^2-4ab+6b^2)^3 + (5a^2-5ab-3b^2)^3 = (6a^2-4ab+4b^2)^3,$$

$$(1-(a-3b)(a^2+3b^2))^3 + ((a+3b)(a^2+3b^2)-1)^3 = (a+3b-(a^2+3b^2)^2)^3 + ((a^2+3b^2)^2-a+3b)^3.$$

[scwec]

Первая строка - это тождество Раманужана, второго, кажется, не встречал.
В задаче имеется в виду другое решение, в котором тождественных нулей не должно быть.

[maxal]

scwec, оба приводятся в разделе 13.7 книги Харди и Райта (стр. 200 и около)

[g______d]

scwec в сообщении #1391527 писал(а):

Найдите 3-параметрическое решение в целых числах уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$

Если одна из переменных нуль и всё проективизировано, то это гиперповерхность из "taxicab problem" Рамануджана. Вроде, ещё Эйлер нашёл рациональную параметризацию. Современный обзор здесь:

https://arxiv.org/abs/1510.00735

Если смотреть на полное уравнение (допустим, для начала в рациональных числах и опять же проективизированное), то известно, что соответствующая кубическая гиперповерхность не является рациональной:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_threefold

https://www.math.ucsd.edu/~eizadi/207A- ... ffiths.pdf

(в последнем тексте теорема 13.12).

С другой стороны, она унирациональна (там же Appendix B или теорему 2.9 книги Манина "кубические формы"), поэтому, по-видимому, трёхпараметрическое семейство решений должно существовать.

Разобрать доказательства и построить параметризацию мне слабо.

[scwec]

В решении не предполагалось обращаться к высоким материям и получать из известных 2-параметрических решений 3-параметрические.
Для решения достаточно использования элементарных вещей.
Сами по себе ссылки maxal и g______d , как всегда, по делу.

[vicvolf]

Я нашёл двухпараметрический частный случай, при котором все переменные целые и отличны от нуля. Правда в этом случае $u=v$. Решение основано на тождестве $[m(1+6n^3)]^3+[m(1-6n)^3]^3+(-6mn^2)^3=m^3+m^3$.

[Shadow]

Будем решать уравнение $x^3+y^3+1=u^3+v^3$ в рациональных числах. Положим:

$\\u=x+m\\ v=y+1-m$

Тогда
1) Уравнение получится втрого порядка относительно $x,y$

2) Имеющее рациональное решение $x=0,y=m$, а значит бесконечно много, положив $y=kx+m$

Решение двухпараметрическое от рациональных параметров $(k,m)$, а значит трех или четырех параметрическое в целых.

Если ничего не напутал, четырехпараметрическое:

$\\x= -b(ac^2-ad^2-bc^2)\\ y=(bc-ad)(ac-ad-bc)\\ z=d(a^2c-a^2d-b^2c)\\ u=a(c-d)(ac-bc-bd)\\ v=c(b-a)(ac-ad-bd)$

-- 09.05.2019, 10:44 --

Решение, конечно, неполное. Тут $u+v=x+y+z$

[scwec]

Решение Shadow понравилось. Кстати, полное решение находить и не требовалось.
Теперь, вот какое решение имелось в виду.
Получается оно из тождества $(a+b-c)^3+(a+c-b)^3+(b+c-a)^3=(a+b+c)^3-24abc$
Полагая здесь $-c=\dfrac{t^3}{24ab}$ и $a+b=n, a-b=m$ получаем
$\\x=-6m^3+6mn^2+t^3, y=6nm^2-6n^3-t^3, z=6m^3-6mn^2+t^3, u=6nm^2-6n^3+t^3, v=6t(m^2-n^2)\\$

[vicvolf]

scwec в сообщении #1392000 писал(а):

Теперь, вот какое решение имелось в виду.
Полагая здесь $-c=\dfrac{t^3}{24ab}$ и $a+b=n, a-b=m$ получаем
$\\x=-6m^3+6mn^2+t^I’m 3, y=6nm^2-6n^3-t^3, z=6m^3-6mn^2+t^3, u=6nm^2-6n^3+t^3, v=6t(m^2-n^2)\\$

Трехпараметрический случай имеет оценку сверху количества целых решений $O(N^3)$. Частный двухпараметрический случай,который указал maxal имеет оценку количества целых решений $O(N^2)$. Естественно количество решений уравнения в частном случае не должно превосходить количество решений в общем случае, поэтому количество параметров в частном случае не должно превосходить количества параметров в общем случае.

[scwec]

Конечно, если есть желание, можно, например, посчитать количество пятёрок целых $x,y,z,u,v$ в 4-х параметрическом решении Shadow и 3-х параметрическом решении scwec в различных диапазонах, сравнить их и определить, какое из решений круче

[Shadow]

scwec в сообщении #1392123 писал(а):

в 4-х параметрическом решении Shadow и 3-х параметрическом решении scwec

А если сравнить 4-параметрическое решение Shadow с 3-х параметрическим решением Shadow окажется, что они совпадают....вот такие вот $O(N^x)$

[vicvolf]

Shadow
Разговор идёт об оценке количества решений в целых числах. У Вас в этом решении 4 параметра. Известно, что решение уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3$ в целых числах двухпараметрическое, поэтому уравнение scwec не может иметь более трехпараметрического решения в целых числах.

[Shadow]

vicvolf в сообщении #1392168 писал(а):

Известно, что решение уравнения $x^3+y^3+z^3=u^3$ в целых числах двухпараметрическое

Вряд ли. Полные решения (например Харди и Райт) как минимум 3-х параметрические. Конечно, там пропущено умножить все на общий множитель (рациональное число, знаменатель которого является НОД всех переменных, а числитель - любое целое. Без него - никак не полное, особенно в экономичном варианте). Все эти объяснения становятся лишними, когда от однородного уравнения в целых переходят в уравнение в рациональных. У уравнения

$x^3+y^3+z^3=1$ - двухпараметрическое полное решение (от рациональных параметров)

Вы сразу можете увидеть эти параметры в Задаче о четырех кубах с полными решениями, посмотрев на отношения

$x/w,y/w,z/w$ и поделив числители и знаменатели на $c^4$ (или на $t^3$ в решении Элкиес)

А у рационального параметра - числитель и знаменатель. И каждому рац. параметру в уравнении в рациональных соответствуют два параметра в уравнении в целых. Можно, конечно, и люди предпочитают привести все параметры под общий знаменатель и вместо $2n$ параметра в целых получить $n+1$. И формулы выглядят поприятнее, но тут есть свои недостатки - небольшие решения часто будут получатся при больших значениях параметров после сокращения на огромный НОД).

Так что в моем решении нет лишних параметров - наоборот - не хватает.
И в полном решении уравнения scwec могут быть и 7 параметров. И лишнего не будет.
Вообще, однородные уравнения лучше решать в рациональных - и там параметры считать.

[scwec]

Одно замечание.
Уравнение $x^3+y^3+z^3=u^3+v^3$ приводится к уравнению в Вейерштрассовой форме для семейства эллиптических кривых $E_{z,u,v}: W^2=U^3-\frac{27}{4}(v^3-z^3+u^3)^2$
Для $z,u,v$ соответствующих найденному 3-параметрическому решению на кривых имеются рациональные точки бесконечного порядка с координатами $U,W$

U=(1/4)*(-12*n^2*m^4-12*n^4*m^2-6*n*m^2*t^3+12*n^6+6*n^3*t^3+t^6+12*n*m^5-24*n^3*m^3+12*n^5*m-6*t^3*m^3+6*t^3*m*n^2+12*m^6)/((m-n)^2*(m+n)^2)
W=(1/8)*(-t^3+3*m^3+3*n*m^2-3*m*n^2-3*n^3)*(-12*n^2*m^4-12*n^4*m^2-6*n*m^2*t^3+12*n^6+6*n^3*t^3+t^6+12*n*m^5-24*n^3*m^3+12*n^5*m-6*t^3*m^3+6*t^3*m*n^2+12*m^6)/((m-n)^3*(m+n)^3)

Удваивая и складывая полученные точки можно получить сколько угодно много рациональных 3-параметризаций исходного уравнения.