Законы переноса и разложение в ряд

[reterty]

Как известно из микроскопической теории переноса (в газах) законы Фика, Фурье и Ньютона могут быть выведены
теоретически путем разложения соответствующей физической величины в пространственный ряд Тейлора с ограничением
первой степени средней длины свободного пробега молекулы (понятно, что крайне мала); см., например Сивухин, т.2, параграф 89. Есть ли хоть какой-нибудь резон ввести
в рассмотрение второй член ряда? К примеру, в закон Фурье-слагаемое вида $d^2 T/dx^2$. C моей точки зрения это должно быть малым возмущением к классическим "градиентным" законам

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- пожалуйста, приведите собственные соображения насчёт целесообразности удержания в рядах (кстати, конкретизируйте их) дополнительных слагаемых. Какую литературу смотрели?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: замечания учтены.

[realeugene]

reterty в сообщении #1390830 писал(а):

C моей точки зрения это должно быть малым возмущением к классическим "градиентным" законам

Мне кажется, производные чётных порядков вводить нельзя из соображений симметрии. Следующая производная нечётного порядка - третья, и её возможное влияние на длине свободного пробега ещё меньше. Существуют гораздо более важные источники погрешностей, изменяющих, например, коэффициент теплопроводности в зависимости от температуры.

[Munin]

reterty в сообщении #1390830 писал(а):

Как известно из микроскопической теории переноса (в газах) законы Фика, Фурье и Ньютона могут быть выведены теоретически

А давайте вы начнёте с того, что приведёте здесь outline вывода закона Фурье. И посмотрим, в каком месте там можно удержать члены более высоких порядков.

Реально это развлечение очень быстро превращается в использование полноценных уравнений физической кинетики.

[reterty]

Munin в сообщении #1390873 писал(а):

reterty в сообщении #1390830 писал(а):

Как известно из микроскопической теории переноса (в газах) законы Фика, Фурье и Ньютона могут быть выведены теоретически

А давайте вы начнёте с того, что приведёте здесь outline вывода закона Фурье. И посмотрим, в каком месте там можно удержать члены более высоких порядков.

Реально это развлечение очень быстро превращается в использование полноценных уравнений физической кинетики.

Пусть температура в газе уменьшается вдоль определенной оси $Ox$. Необходимо определить количество теплоты $\delta Q$,
переносимое через произвольную площадку площадью $S$, перпендикулярную этой оси за время $dt$. Вследствие хаотичности
движения молекул в газе за указанное время через данную поверхность слева направо и справа налево пройдет одинаковое количество молекул $dN=(1/6)S\overline{\upsilon}dt$.
Здесь $\overline{\upsilon}$-средняя скорость молекул. Однако, за счет градиента температур, энергия этих молекул справа и слева от плоскости будет разной.
Легко показать, что разность энергии молекулы справа и слева от плоскости можно представить виде: $\Delta E=m_0 c_V (T_1-T_2)$, где $m_0$-масса молекулы;
$c_V$-удельная теплоемкость газа при постоянном обьеме; $T_1$ и $T_2$-температуры газа слева и справа от площадки на расстояниях, равных средней длине свободного пробега молекул $\lambda$.
Поскольку $\lambda$ мала, запишем приближенные равенства: $T \approx T_1+\frac{dT}{dx} \lambda$, $T_2 \approx T+\frac{dT}{dx} \lambda$.
Здесь $T$-температура газа в месте где расположена площадка ("текущая" температура). Тогда $T_1-T_2 \approx -2\frac{dT}{dx} \lambda$.
Отсюда, с учетом равенства $\delta Q=dN \Delta E$, получаем "приближенный" закон Фурье.

[realeugene]

reterty в сообщении #1390898 писал(а):

Легко показать, что разность энергии молекулы справа и слева от плоскости можно представить виде: $\Delta E=m_0 c_V (T_1-T_2)$, где $m_0$-масса молекулы;

Покажите, раз легко.

[reterty]

realeugene в сообщении #1390911 писал(а):

reterty в сообщении #1390898 писал(а):

Легко показать, что разность энергии молекулы справа и слева от плоскости можно представить виде: $\Delta E=m_0 c_V (T_1-T_2)$, где $m_0$-масса молекулы;

Покажите, раз легко.

Внутренняя энергия идеального газа $U=c_VmT$. Разделив ее на число молекул $N$, получаем искомое выражение для энергии, приходящейся на одну частицу и, соответственно, разность энергий молекулы по обе стороны от площадки

[realeugene]

reterty в сообщении #1390913 писал(а):

Внутренняя энергия идеального газа $U=c_VmT$. Разделив ее на число молекул $N$, получаем искомое выражение для энергии, приходящейся на одну частицу и, соответственно, разность энергий молекулы по обе стороны от площадки

Вы в рамках какой модели это считали? Молекулярно-кинетической идеального газа? (В которой нет длины свободного пробега и переноса, ну да ладно, не важно). Насколько я помню, там упоминалось распределение Максвелла. И у каждой молекулы, приходящей со своей стороны, своя энергия. Нужно осреднять по распределению. И получать вашу формулу. Она заведомо верна только в некотором приближении, которое вы пытаетесь превзойти. Так что, проинтегрируйте, пожалуйста, по распределению, и покажите, раз это легко.

Но следующим будет вопрос, а можно ли пользоваться распределением Максвелла при наличии ненулевого градиента температуры? Оно было выведено в предположении термодинамического равновесия, а если есть поток тепла, то система уже неравновесна. И к распределению могут добавиться поправки, пропорциональные каким-то производным температуры. Которые вы и ищете.

В общем, как всегда, за фразой в учебнике "легко показать" скрываются ловкие движения фокусника.

PS Слышал (сам не копал), что всё в конце концов приведёт к цепочке уравнений Боголюбова

[Munin]

reterty в сообщении #1390898 писал(а):

Вследствие хаотичности
движения молекул в газе за указанное время через данную поверхность слева направо и справа налево пройдет одинаковое количество молекул $dN=(1/6)S\overline{v}dt$.

Объясните, почему. (Вообще говоря, это просто не следует из ваших условий.)

reterty в сообщении #1390898 писал(а):

Однако, за счет градиента температур, энергия этих молекул справа и слева от плоскости будет разной.
Легко показать, что разность энергии молекулы справа и слева от плоскости можно представить виде: $\Delta E=m_0 c_V (T_1-T_2)$, где $m_0$-масса молекулы; $c_V$-удельная теплоемкость газа при постоянном обьеме; $T_1$ и $T_2$-температуры газа слева и справа от площадки на расстояниях, равных средней длине свободного пробега молекул $\lambda$.

Ну вот в этом месте и надо:
1. Вывести это равенство из кинетики молекул.
2. Взяв распределение Максвелла, найти второе и последующие приближения, дающие уточнение к этой формуле.

Вы с realeugene не за то зацепились. Важно не то, как энергия связана с температурой, важно, где они связаны. Молекулы не все приходят из точки на средней длине свободного пробега. Какие-то приходят из более близких точек, какие-то - из более далёких. И все они приходят из точек с разной температурой. Заменяя эти "разные температуры" на линейную зависимость, вы учитываете $\dfrac{dT}{dx}.$ Однако с большей точностью можно учитывать вторую, третью и т. д. производные.

И вот тогда честно интегрировать по всем длинам свободного пробега (в проекции на $x,$ разумеется!), и получать новые выражения.

[reterty]

Из всего сказанного выше уважаемыми realeugene и Munin следует, что я знаком с каким-то примитивным полушкольным выводом
законов переноса. Кстати, есть ведь и еще один нюанс: средние скорости как функции температуры также различны в точках "слева" и "справа".
Следовательно, число прошедших через площадку молекул "слева" и "справа" за одно и то же время также неодинаково

[Eule_A]

reterty в сообщении #1390963 писал(а):

следует, что я знаком с каким-то примитивным полушкольным выводом
законов переноса

Может быть и не школьным, но "общефизическим". Вы ведь сами на Сивухина и сослались. А я ведь не случайно просил конкретизировать, о каких рядах идёт речь. Формулы написать.
Дело в том, что в общей физике как-то не хотят обходить стороной такие вопросы, как теплопроводность, диффузия и т.п. Но по-хорошему эти явления простыми словами не описываются. Или описываются, но очень грубо. Если же хочется, чтобы не грубо, то

Munin в сообщении #1390873 писал(а):

Реально это развлечение очень быстро превращается в использование полноценных уравнений физической кинетики.

Если с ними сталкиваться не доводилось, то либо поверьте на слово, что мало где есть такие сложные уравнения, как в кинетике, либо загляните в десятый том Ландау или книгу Силина "Введение в кинетическую теорию газов".

[Pphantom]

reterty в сообщении #1390963 писал(а):

Следовательно, число прошедших через площадку молекул "слева" и "справа" за одно и то же время также неодинаково

Вы пытаетесь рассматривать процесс медленной релаксации, при котором не должны происходить макроскопические движения газа. Соответственно, отсутствие указанного обстоятельства уже заложено в модель. От этого ограничения можно отказаться, рассматривая и гидродинамическую релаксацию тоже, но это уже не процессы переноса.

[realeugene]

reterty в сообщении #1390963 писал(а):

Следовательно, число прошедших через площадку молекул "слева" и "справа" за одно и то же время также неодинаково

$p = nkT=\operatorname{const}$

[reterty]

Eule_A в сообщении #1390967 писал(а):

reterty в сообщении #1390963 писал(а):

следует, что я знаком с каким-то примитивным полушкольным выводом
законов переноса

Может быть и не школьным, но "общефизическим". Вы ведь сами на Сивухина и сослались. А я ведь не случайно просил конкретизировать, о каких рядах идёт речь. Формулы написать.
Дело в том, что в общей физике как-то не хотят обходить стороной такие вопросы, как теплопроводность, диффузия и т.п. Но по-хорошему эти явления простыми словами не описываются. Или описываются, но очень грубо. Если же хочется, чтобы не грубо, то

Munin в сообщении #1390873 писал(а):

Реально это развлечение очень быстро превращается в использование полноценных уравнений физической кинетики.

Если с ними сталкиваться не доводилось, то либо поверьте на слово, что мало где есть такие сложные уравнения, как в кинетике, либо загляните в десятый том Ландау или книгу Силина "Введение в кинетическую теорию газов".

Спасибо. Буду "копать" дальше по Силину и ЛЛ