2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 19:06 


26/08/11
1886
Натуральное число $m$ назовем "хорошим", если для любого натурального $n$ разрешимо уравнение $mx^2-y^2-z^2=n$ в натуральных числах. В противном случае оно плохое.
а) Найдите одно хорошее и одно плохое число;
б) Докажите бесконечность и плохих, и хороших чисел;
в) Найдите все хорошие числа.

(К оригиналу добавил б и в. Насчет "в" у меня крепкая гипотеза, которую пока не доказал.)

-- 02.05.2019, 18:23 --

Да, в оригинале было $m>1$. Но там только подточка а) была - для затруднения поиска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:14 
Аватара пользователя


07/01/16
908
Аязьма
По крайней мере, все $m=4p$ - плохие (рассмотрим равенство по модулю $4$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:23 


26/08/11
1886
waxtep в сообщении #1390707 писал(а):
По крайней мере, все $m=4p$ - плохие (рассмотрим равенство по модулю $4$)
это правда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:31 
Аватара пользователя


07/01/16
908
Аязьма
$m=5$ - хорошее; можно взять $y=2x,z=x-1$ или $y=2x-1,z=x+1$ чтобы представить любое нечетное или четное $n$ соответственно

-- 02.05.2019, 20:36 --

Ой нет, $n=1$ при $m=5$ не представить

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:38 


26/08/11
1886
И это правда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:44 
Аватара пользователя


07/01/16
908
Аязьма
Shadow в сообщении #1390710 писал(а):
И это правда.
только с $n=1$ надо аккуратно отдельно, например $(x,y,z)=(7,10,12)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:52 


26/08/11
1886
waxtep в сообщении #1390709 писал(а):
Ой нет, $n=1$ при $m=5$ не представить

Можно,конечно. 5- хорошее число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 20:59 
Аватара пользователя


07/01/16
908
Аязьма
Shadow в сообщении #1390712 писал(а):
Можно,конечно. 5- хорошее число.
Криво выразился, имел в виду, "так не представить"; выше поправился. Осталось с хорошими по-хорошему разобраться :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение02.05.2019, 21:00 


26/08/11
1886
waxtep в сообщении #1390711 писал(а):
только с $n=1$ надо аккуратно отдельно

Ну да, конечно. Но если есть решение с нулем, найдется и без нуля. Рассмотрим уравнение Пелля с тривиальным решением $(x,0)$. Есть тривиальное, найдутся и нетривиальные
это не проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие числа
Сообщение03.05.2019, 21:24 


26/08/11
1886
Shadow в сообщении #1390704 писал(а):
Насчет "в" у меня крепкая гипотеза, которую пока не доказал
Уже доказал. И так, к точки "в":
Все числа, делящиеся на $4$, или на простое $3 \pmod 4$ - плохие.
Все остальные

(Толстая подсказка)

представимые в виде суммы двух взаимнопростых квадратов

хорошие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group