Хорошие числа

[Shadow]

Натуральное число $m$ назовем "хорошим", если для любого натурального $n$ разрешимо уравнение $mx^2-y^2-z^2=n$ в натуральных числах. В противном случае оно плохое.
а) Найдите одно хорошее и одно плохое число;
б) Докажите бесконечность и плохих, и хороших чисел;
в) Найдите все хорошие числа.

(К оригиналу добавил б и в. Насчет "в" у меня крепкая гипотеза, которую пока не доказал.)

-- 02.05.2019, 18:23 --

Да, в оригинале было $m>1$. Но там только подточка а) была - для затруднения поиска.

[waxtep]

По крайней мере, все $m=4p$ - плохие (рассмотрим равенство по модулю $4$)

[Shadow]

waxtep в сообщении #1390707 писал(а):

По крайней мере, все $m=4p$ - плохие (рассмотрим равенство по модулю $4$)

это правда.

[waxtep]

$m=5$ - хорошее; можно взять $y=2x,z=x-1$ или $y=2x-1,z=x+1$ чтобы представить любое нечетное или четное $n$ соответственно

-- 02.05.2019, 20:36 --

Ой нет, $n=1$ при $m=5$ не представить

[Shadow]

И это правда.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1390710 писал(а):

И это правда.

только с $n=1$ надо аккуратно отдельно, например $(x,y,z)=(7,10,12)$

[Shadow]

waxtep в сообщении #1390709 писал(а):

Ой нет, $n=1$ при $m=5$ не представить

Можно,конечно. 5- хорошее число.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1390712 писал(а):

Можно,конечно. 5- хорошее число.

Криво выразился, имел в виду, "так не представить"; выше поправился. Осталось с хорошими по-хорошему разобраться

[Shadow]

waxtep в сообщении #1390711 писал(а):

только с $n=1$ надо аккуратно отдельно

Ну да, конечно. Но если есть решение с нулем, найдется и без нуля. Рассмотрим уравнение Пелля с тривиальным решением $(x,0)$. Есть тривиальное, найдутся и нетривиальные
это не проблема.

[Shadow]

Shadow в сообщении #1390704 писал(а):

Насчет "в" у меня крепкая гипотеза, которую пока не доказал

Уже доказал. И так, к точки "в":
Все числа, делящиеся на $4$, или на простое $3 \pmod 4$ - плохие.
Все остальные

(Толстая подсказка)

представимые в виде суммы двух взаимнопростых квадратов

хорошие.