2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 15:20 


01/11/18
15
Во многих учебниках говорится, что деление без остатка - частный случай деления с остатком.
Однако в книгах по теории чисел сначала даётся определение делимости: число $a$ делится нацело на число $b$ если найдется такое целое $q$ , что $a = bq$
А потом теорема: всякое целое число $a$ представляется единственным образом через положительное целое $b$ в форме: $a = bq + r$ , где $r$ - целое от $0$ до $b$. Причем в доказательстве иногда употребляют слово "кратный".
Если деление нацело - частный случай деления с остатком, то почему оно упоминается при определении общего случая ?
В "Теории чисел" А.А. Бухштаба даже есть теорема: $b$ является делителем $a$ тогда и только тогда, когда остаток от деления $a$ на $b$ равен нулю.
Корректно ли вообще говорить, что деление без остатка - частный случай деления с остатком

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 15:30 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
Что вас конкретно не устраивает, не понял. 1 — частный случай натурального числа. Однако таки много где упоминается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
nide9 в сообщении #1390362 писал(а):
почему оно упоминается при определении общего случая ?
Где оно там упоминается?
Мой вопрос не означает, что если бы оно там упоминалось, это было бы ужасно: вполне допустимо определять более общую операцию через менее общую (которая после такого определения становится частным случаем более общей). Мне просто интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 15:45 


01/11/18
15
iifat в сообщении #1390363 писал(а):
Что вас конкретно не устраивает, не понял. 1 — частный случай натурального числа. Однако таки много где упоминается.

Никто же не определяет число через единицу

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 15:48 


20/03/14
12041
nide9
Я сейчас отнесу обе Ваши темы (одну слегка с опозданием) в Карантин для правки.
1. Оформляйте все формулы, даже состоящие из одного символа.
2. Доллары по краям ставьте.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.04.2019, 15:49 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.04.2019, 16:21 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 16:24 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
nide9 в сообщении #1390367 писал(а):
Никто же не определяет число через единицу
Вообще-то, именно так и определяются натуральные. Иногда через единицу, иногда через нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 16:26 


01/11/18
15
svv в сообщении #1390364 писал(а):
nide9 в сообщении #1390362 писал(а):
почему оно упоминается при определении общего случая ?
Где оно там упоминается?
Мой вопрос не означает, что если бы оно там упоминалось, это было бы ужасно: вполне допустимо определять более общую операцию через менее общую (которая после такого определения становится частным случаем более общей). Мне просто интересно.

В доказательстве возможности разделить с остатком любое число. "Действительно, одно представление $a$ в такой форме получим, взяв $bq$ равным наибольшему кратному числа $b$, не превосходящему $a$".
И можете привести такой пример, когда более общее определяется через менее общее?

-- 30.04.2019, 17:36 --

iifat в сообщении #1390377 писал(а):
nide9 в сообщении #1390367 писал(а):
Никто же не определяет число через единицу
Вообще-то, именно так и определяются натуральные. Иногда через единицу, иногда через нуль.

Насколько я понимаю, натуральное число определяется как класс равномощных множеств. Число 1 - класс множеств, равномощных с индивидуальным множеством M, определенным так, что $a$ и только $a$ есть элемент множества M. То есть 1 определяется через определение натурального числа, а остальные числа определяются через сумму с единицей
Первая аксиома Пеано: 1 является натуральным числом

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
nide9 в сообщении #1390378 писал(а):
Насколько я понимаю, натуральное число определяется как класс равномощных множеств.
Это где оно так определяется? В теории множеств (например, в ZFC) натуральные числа определяются как элементы наименьшего индуктивного множества. Никаких "классов" там нет. В NBG классы есть, но натуральные числа определяются так же, как в ZFC. И причина в том, что для вашего определения натуральных чисел необходимо иметь определение конечного множества, а весь фокус в том, что такого определения, независимого от натуральных чисел, не существует. (Да, есть определение Дедекинда, но оно при наличии аксиомы выбора равносильно определению через натуральные числа, а без аксиомы выбора появляются всякие пакостные множества, мощности которых называть натуральными числами никак не хочется.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Деление с остатком и частный случай
Сообщение30.04.2019, 17:25 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
nide9 в сообщении #1390362 писал(а):
Однако в книгах по теории чисел сначала даётся определение делимости: число $a$ делится нацело на число $b$ если найдется такое целое $q$ , что $a = bq$
Нужно различать делимость (как отношение) и деление с остатком (как операцию). Вопрос: ноль делится на ноль? Ответ: да. Вопрос: можно ноль разделить на ноль с остатком? Ответ: Нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group