Вот я и пытался сообразить, бывают ли планиметрические задачи, не привлекающие метрические соотношения (и не сводимые к ним).
Что-нибудь из аффинной геометрии? Скажем, об отношении площадей подобных треугольников, делящих угол, и строимых аккуратно, чтобы не поминать длины сторон, а только векторы с началом в вершине угла? (Хм, эта скучная какая-то, да и отношение площадей будет несводимой к каким-то «просто площадям» величиной.)