Новая проблема inevitablee

[inevitablee]

В общем, я школьник 11 класс, и мне стало просто интересно: можно ли В ТЕОРИИ решить любую планиметрическую задачу используя ТОЛЬКО n-ное количество теорем косинусов? Или же только этих соображений может не хватить? Ну вот предположим, что у нас есть мощный компьютер, и он легко решит любую систему уравнений, будь то система хоть с 60 неизвестными. Если нет, то почему?

Lia: Название темы изменено без согласования с автором.

[Someone]

inevitablee в сообщении #1390320 писал(а):

можно ли В ТЕОРИИ решить

А что, можно решать задачу не в теории?

По поводу вашего вопроса: считаете ли Вы, что теорема косинусов, принятая в качестве аксиомы геометрии, даёт полную систему аксиом евклидовой геометрии?

[inevitablee]

Someone
Я не знаю, я просто школьник)

[Munin]

Школьная геометрия (евклидова геометрия на плоскости и в 3-мерном пространстве) устроена так:

1. Создаём пространство точек. Это очень просто: у нас есть действительные числа $\mathbb{R},$ и операция декартова произведения множеств. Множество $\mathbb{R}\times\mathbb{R},$ обычно обозначаемое $\mathbb{R}^2,$ состоит из всех упорядоченных пар действительных чисел, множество $\mathbb{R}^3$ - из упорядоченных троек, и вообще, $\mathbb{R}^n,$ - из упорядоченных $n$-ок (читается "энок"; по-английски $n$-tuple (en-tuple)). Таким способом можно создать 0-мерное пространство (одна точка), 1-мерное (прямая), 4-мерное, и так далее.

2. Снабжаем это пространство разными структурами.

2.1. Топологическая структура указывает, какие точки считать близкими, а какие - нет, чтобы можно было брать пределы последовательностей и сходящихся окрестностей. Топологическую структуру на $\mathbb{R}^n$ можно взять самую простую: вокруг каждой точки $(x_1,\ldots x_i,\ldots x_n)$ мы можем обвести параллелепипед, состоящий из произведения отрезков $(a_i,b_i),$ содержащих $i$-тую координату точки: $a_i<x_i<b_i.$ Отрезки берутся открытые, потому что в топологии больше любят открытые множества. И дальше все такие параллелепипеды называются базой окрестностей данной точки. Это не все окрестности, но все можно получить из окрестностей базы. В том числе, получающаяся топология не будет зависеть от того, как мы изначально проводили оси координат в нашем пространстве. Но всё это доказывают в продвинутых курсах.

2.2. Линейная структура указывает, какие линии считать прямыми, а какие - нет. Кроме того, на каждой прямой, как на числовой прямой, вводится порядок точек и сравнение длин отрезков. Эти структуры на двух параллельных линиях однозначно связаны (потому что их можно перенести другими линиями, завершающими параллелограмм). В 3-мерном пространстве вводятся плоскости, и на каждой плоскости - линейная структура прямых; на двух параллельных плоскостях структуры связаны. И дальше по индукции, на $n$-мерном пространстве вводятся $(n-1)$-мерные гиперплоскости, каждая из которых имеет линейную структуру из $(n-2)$-мерных гиперплоскостей...

2.3. Евклидова структура (разновидность метрической структуры) указывает, как сравнивать длины отрезков, отложенных вдоль разных прямых. Для этого вводится теорема Пифагора (= евклидова метрика)

$$l=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_i-y_i)^2+\ldots+(x_n-y_n)^2}.$$
Можно доказать, что при этом выполняется теорема Пифагора также для всех других ориентаций прямоугольного треугольника. Но сначала надо ввести понятие угла. Угол вводится именно теоремой косинусов:

$$\angle ABC=\arccos\dfrac{l_{AB}^2+l_{BC}^2-l_{AC}^2}{2l_{AB}l_{BC}}.$$
Каждому косинусу однозначно соответствует угол в диапазоне $[0,\pi],$ а бо́льшие углы не используются как углы между прямыми, лучами, плоскостями и т. д.


На самом деле, часто здесь пп. 2.2 и 2.3 формулируются иначе, в терминах векторов. Вектором в данном пространстве (это более узкий случай, чем векторы вообще) называется покоординатная разность двух точек - $n$-ок чисел. Такие векторы тоже будут $n$-ками чисел, но в другом пространстве - не в том, которое мы строим. Линейная структура соответствует векторной алгебре: сложение векторов и умножение их на числа, с соответствующими аксиомами. Они выполнятся, если векторы складывать между собой и умножать на числа покоординатно. Прямой линией становится множество всех векторов, пропорциональных данному, а между данными пропорциональными векторами можно найти отношение. Евклидова структура соответствует тому, что для векторов вводится евклидово скалярное произведение и евклидова норма:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1+\ldots+a_i b_i+\ldots+a_n b_n,\qquad\|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}.$$
Длиной отрезка становится норма вектора, а углом - выражение

$$\angle(\vec{a}\vec{b})=\arccos\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\,\|\vec{b}\|}.$$

Кроме того, можно ввести топологическую структуру после линейной и метрической структуры, и взять в качестве базы окрестностей точки не параллелепипеды, а шары радиусов $r,$ очерченные вокруг этой точки. Снова, в продвинутом курсе доказывается, что это будет та же самая топология.

3. В полученном пространстве вводятся некоторые симметрии.

Пока в получившейся конструкции есть кое-что лишнее, "строительные леса". Это детали, которые унаследованы от способа построения пространства. Мы имеем некоторую "выделенную систему координат": начало координат $(0,\ldots,0)$ и оси координат $x_i.$ Чтобы геометрия "не обращала на них внимание", надо сказать, что мы изучаем только те объекты, которые выдерживают некоторые преобразования, которые называются преобразованиями симметрии. В данном случае, это параллельные переносы, повороты, зеркальные отражения, и их всевозможные композиции - все вместе они называются движениями евклидовой геометрии. Фигуры, которые соответствуют друг другу после движения, называются в школе равными, а вообще-то конгруэнтными (поскольку они не равны одна другой как множества точек). Но понятно, что при таких движениях "теряется" расположение фигуры по отношению к системе координат.

Преобразования симметрии не стоит вводить явным списком. Вместо этого, говорят, что преобразования симметрии - это те преобразования, которые сохраняют структуры, которые мы ввели: топологическую, линейную, евклидову. И получатся как раз те преобразования, что я перечислил: переносы, повороты, отражения и т.д.

Можно расширить множество симметрий, если сказать, что они должны сохранять меньше структур. Можно вводить другие структуры, и соответственно, им будут отвечать другие симметрии. Всё это уже выводит за рамки школьной геометрии.

----------------

С этой картиной в голове, можно понять, что:

- можно использовать только теорему косинусов, если разрешить применять её к "вырожденным треугольникам" (расположенным по прямой линии);
- можно эквивалентно использовать только векторную алгебру со скалярным произведением;
- если не упоминать углы, то можно использовать только теорему Пифагора;
- если не упоминать углы и длины, то можно обойтись векторной алгеброй без скалярного произведения.

В общем, вы правильно понимаете, что теорема косинусов занимает одно из центральных мест в конструкции евклидовой геометрии. Хотя обычно всё-таки её заменяют на скалярное произведение, но это почти одно и то же.

[Booker48]

Munin
Не могли бы Вы продемонстрировать (просто набросать), как с помощью только теоремы косинусов показать, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной?

[Munin]

Надеюсь, вы позволите доказать равносильный факт: что сумма углов в треугольнике равна $\pi.$ Для этого надо доказать, что $\cos(\alpha+\beta)=-\cos\gamma,$ то есть (здесь везде пользуемся свойствами косинусов, которые можно взять из матанализа):

$$\begin{gathered}\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=-\cos\gamma \\ \cos\alpha\cos\beta-\sqrt{(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta)}=-\cos\gamma \\ (\cos\alpha\cos\beta+\cos\gamma)^2=(1-\cos^2\alpha)(1-\cos^2\beta) \\ \Bigl(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\Bigr)^2=\Bigl(1-\dfrac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}\Bigr)\Bigl(1-\dfrac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2}\Bigr).\end{gathered}$$

Осталось всё это расписать, и показать, что многочлен слева равен многочлену справа (знаменатели тоже равны). Извините, много технической работы.

-- 30.04.2019 14:50:33 --

И кажется, даже неравенство треугольника нигде не понадобилось использовать...

[Booker48]

Munin
Спасибо, я и просил только набросок, извините за отнятое время.

Munin в сообщении #1390355 писал(а):

равносильный факт: что сумма углов в треугольнике равна $\pi.$

Равносильность этого факта тоже ведь надо доказывать с помощью теоремы косинусов.

Munin в сообщении #1390355 писал(а):

И кажется, даже неравенство треугольника нигде не понадобилось использовать...

Я бы даже сказал, что и теорема косинусов не понадобилась.

[Someone]

И не получается там равенства. Точнее, получается, но только для прямоугольного треугольника: разность между левой и правой частями равна

$$\frac{\left(a^2-b^2-c^2\right) \left(a^2+b^2-c^2\right) \left(a^2-b^2+c^2\right)}{2 a^2 b^2 c^2}.$$

[vpb]

inevitablee
"С помощью теоремы косинусов" --- это в сущности то же, что и "с помощью метода координат", или "с помощью теоремы Пифагора". Тогда ответ такой: да, можно. Точнее, любую задачу или теорему из планиметрии можно свести к вопросу такого типа: задана некоторая система уравнений и неравенств; верно ли, что эта система имеет решение (т.е. набор значений переменных, который удовлетворяет всем эти уравнениям и неравенствам)? (Не точно так, но примерно так...) А такую задачу, В ПРИНЦИПЕ, всегда можно решить с помощью компьютера. Я говорю "в принципе", т.к. потребное для этого время вычислений может оказаться огромным. Возможность такого решения --- это так называемая теорема Тарского-Зайденберга.

На форуме есть участник, который в этом лучше разбирается, а именно nnosipov. Возможно он еще прокомментирует. (Например про китайский народный метод Ву что-нибудь напишет... )

[venco]

Someone в сообщении #1390380 писал(а):

И не получается там равенства. Точнее, получается, но только для прямоугольного треугольника: разность между левой и правой частями равна

$$\frac{\left(a^2-b^2-c^2\right) \left(a^2+b^2-c^2\right) \left(a^2-b^2+c^2\right)}{2 a^2 b^2 c^2}.$$

Не может такого быть, перепроверьте. У вас получилось, что только у прямоугольного треугольника сумма углов равна $\pi$.

[Munin]

Someone в сообщении #1390380 писал(а):

И не получается там равенства.

Значит, у меня где-то опечатка. Потому что равенство должно получаться как минимум из того, что мы знаем, что в треугольнике сумма углов $\pi$ :-)

Booker48 в сообщении #1390365 писал(а):

Равносильность этого факта тоже ведь надо доказывать с помощью теоремы косинусов.

Насколько я понимаю, нет, там достаточно линейной геометрии и топологии. Впрочем, не проверял. Понадеялся, что вы позволите.

-- 30.04.2019 18:09:44 --

Связаны они, очевидно, через известное доказательство:

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Triangle_angles_sum_to_180_degrees.svg

[venco]

Munin в сообщении #1390400 писал(а):

Значит, у меня где-то опечатка.

Вроде нет, у меня 0 получился.

[nnosipov]

inevitablee в сообщении #1390320 писал(а):

Ну вот предположим, что у нас есть мощный компьютер, и он легко решит любую систему уравнений, будь то система хоть с 60 неизвестными.

Ну-ну, легко. Попробуйте решить какую-нибудь систему геометрического происхождения хотя бы с 3 неизвестными, уже будет интересно. (Например, по длинам биссектрис треугольника восстановить длины его сторон.)

vpb в сообщении #1390394 писал(а):

(Например про китайский народный метод Ву что-нибудь напишет...

Принципиально вопрос решается теоремой Тарского-Зайденберга, а дальше уже различные технологии, в том числе и упомянутая. Про эти дела была статья в одном из первых выпусков сборника "Математическое просвещение" (А. А. Разборов, "О сложности вычислений", вып. 3, см. по ссылке https://www.mccme.ru/free-books/matpros4.html). Возможно, ТС будет полезно ее прочитать.

[Munin]

Someone, venco
Да, у меня тоже сошлось.

$(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)=c^4-(a^2-b^2)^2=-a^4+2a^2b^2-b^4+c^4$
$2c^2(a^2+b^2-c^2)=2a^2c^2+2b^2c^2-2c^4$

в сумме $-a^4+2a^2b^2-b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-c^4$
$(b^2+c^2-a^2)^2=a^4-2a^2b^2+b^4-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4$
$4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2=-a^4+2a^2b^2-b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-c^4$

и уже можно дальше не возводить в квадрат.

-- 30.04.2019 20:24:21 --

По дороге, у меня получилась и теорема синусов: $(\sin^2\beta)/b^2=(\sin^2\alpha)/a^2.$

[Booker48]

Munin в сообщении #1390400 писал(а):

Booker48 в сообщении #1390365 писал(а):

Равносильность этого факта тоже ведь надо доказывать с помощью теоремы косинусов.

Насколько я понимаю, нет, там достаточно линейной геометрии и топологии. Впрочем, не проверял. Понадеялся, что вы позволите.

Спасибо ещё раз.
У ТС прозвучало: "любую планиметрическую задачу" с использованием "только теоремы косинусов". То есть, как заметил Someone, это равносильно тому, что геометрия представлена ровно одной аксиомой. В Вашем (и других участников) изложении понятно, что не обойтись без аксиоматического определения ряда структур и симметрий. А теорема косинусов будет задавать метрику. Вот я и пытался сообразить, бывают ли планиметрические задачи, не привлекающие метрические соотношения (и не сводимые к ним).