Заряд над проводящей изолированной пластинкой

[reterty]

Никак не могу подступиться к решению следующей задачи:
Над тонкой электрически нейтральной изолированной бесконечно протяженной пластинкой толщины $d$
находится точечный заряд $q$. Расстояние от заряда до пластинки $h$. Пользуясь методом изображений
определить электростатическую силу взаимодействия заряда с пластинкой, предполагая, что $h$ сравнимо с $d$.
Как решается эта задача в передельных случаях $h>>d$ и $h<<d$ (проводящее полупространство) общеизвестно.
В книге В. Смайт "Электростатика и электродинамика" стр.188, 1954 г. подобная задача для диэлектрической пластины решается с
использованием Фурье-разложения потенциала поля точечного заряда. Там же сказано что: "... результат можно получить и более длинным
путем при помощи метода изображений".
Неужели в данном случае будет иметь место бесконечный ряд зарядов-изображений?
Единственное, что четко разумею-должны выполняться условия: 1) внутри пластинки $E=0$; 2) на поверхностях пластины касательная составляющая
$E_\tau=0$.
Возможно где-то такая задача уже решена с помощью метода изображений.
Заранее благодарен всем за помощь

[reterty]

Вроде бы как должны быть два заряда-изображения, которые в сумме должны давать $-q$

[Munin]

Пластинка диэлектрическая? Пластинка протяжена по $x,$ но не по $y$? Если на оба вопроса ответы "нет", то я не понимаю постановки: пластинка сколь угодно малой толщины (пока мы не лезем в микроскопическую металла) выглядит точно так же, как бесконечно толстая. Её передняя поверхность полностью изолирует электрическое поле в верхнем полупространстве, и с другой стороны могут хоть черти в бильярд играть.

reterty в сообщении #1390160 писал(а):

Неужели в данном случае будет иметь место бесконечный ряд зарядов-изображений?

Если пластина диэлектрическая, то да. Но разумеется, внутри пластины поле будет не 0.

-- 29.04.2019 14:21:52 --

Знаки $\gg$ и $\ll$ набираются как \gg и \ll .

В предельном переходе $\varepsilon\to+\infty$ пластина из диэлектрической становится проводящей, и при этом одно первое отражение становится полным, а все остальные исчезают, то есть вместо ряда остаётся одно отражение.

[reterty]

Пластина проводящая (сорри, не уточнил в условии). Заряда-изображения явно два. Но разноименные ли они?
С одной стороны они должны быть разноименными и равными по модулю (пластина в целом электронейтральна). Но тогда мы не получим поле внутри пластины
равным нулю..... Равенство нулю выполняется только если суммарный заряд-изображение равен $-q$. Пластина протяженная, так что ее продольные размеры
много больше $h$

[superkonev]

думаю, если пластина бесконечна, то не должно от ее толщины зависеть.

[Munin]

reterty в сообщении #1390175 писал(а):

Заряда-изображения явно два.

Почему два? Один. Если пластина проводящая, то она "непрозрачное зеркало". Убедитесь в этом. Я повторять не буду.

reterty в сообщении #1390175 писал(а):

пластина в целом электронейтральна

Поскольку пластина бесконечна, это условие не накладывает никаких ограничений. Заряды просто притекают с бесконечности.

-- 29.04.2019 14:59:03 --

superkonev в сообщении #1390177 писал(а):

думаю, если пластина бесконечна, то должно от ее толщины зависеть.

Как раз для бесконечной не должно.

[reterty]

Munin в сообщении #1390180 писал(а):

reterty в сообщении #1390175 писал(а):

Заряда-изображения явно два.

Почему два? Один. Если пластина проводящая, то она "непрозрачное зеркало". Убедитесь в этом. Я повторять не буду.

Одним зарядом-изображением Вы на двух поверхностях (напоминаю, что толщина пластинки сравнима с расстоянием $h$) граничным условиям не удовлетворите. Надобно два

[superkonev]

Munin в сообщении #1390180 писал(а):

Как раз для бесконечной не должно.

как раз это хотел сказать, исправил. скорее, метод изображений для двух плоскостей сразу применять нельзя. применить только для внешней, а распределения потом уже подгонять.

[Munin]

reterty в сообщении #1390183 писал(а):

Одним зарядом-изображением Вы на двух поверхностях (напоминаю, что толщина пластинки сравнима с расстоянием $h$) граничным условиям не удовлетворите.

Не понимаю. Вы что, воображаете, что поле заряда-изображения появляется с другой стороны пластинки?

Давайте так. (Константы - положительные числа.)
В $(x,y,z)=(0,0,h)$ находится заряд $q.$
В $-d<z<0$ выполняется $\vec{E}=0.$ В таком случае, решение в $z>0$ никак не связано и не влияет на решение в $z<-h.$

$\operatorname{div}\vec{E}=0$ в областях решения в вакууме.

На границах $z=0$ и $z=-h$ выполняется $\vec{E}_\tau=0.$

Тогда общее решение такое:
1) На верхней стороне пластины $z=0$ - одно точечное отражение + равномерная плотность заряда.

$\sigma(x,y)=-\dfrac{qh}{2\pi\,r^3}+\sigma_1,\quad r=\sqrt{x^2+y^2+h^2}$

2) На нижней стороне пластины $z=-h$ - просто равномерная плотность заряда.

$\sigma(x,y)=\sigma_2$

У решения две свободные константы. Пространство решений двумерно.

Чтобы фиксировать эти константы, надо наложить дополнительные условия. Стандартное условие - отсутствие поля на бесконечности. В данном случае, поскольку пластина бесконечна по $x,y,$ то подразумевается $z\to\pm\infty.$ Это условие обнуляет оба слагаемых "равномерная плотность заряда" $\sigma_1=\sigma_2=0.$

Вы хотите наложить условие "пластина электронейтральна". Это означает, что $\int_{z=0}\sigma\,dS+\int_{z=-d}\sigma\,dS=0.$ Но увы, чисто формально этот интеграл либо равен $-q$ (в единственном случае нулевых слагаемых "равномерная плотность заряда" $\sigma_1=\sigma_2=0$), либо не существует.

Физически, если пластина бесконечного размера возникает как предел пластины конечного размера. То при наложении условия электронейтральности на пластину, получится точечное отражение + добавочный заряд $+q,$ распределённый по пластине так, как если бы в $(x,y,z)=(0,0,h)$ ничего не было. (Принцип суперпозиции в электростатике.) Как он распределяется? Примерно равномерно, с концентрацией заряда на краях пластины (это точное решение). Поверхностная плотность этого заряда обратно пропорциональна полной площади пластины. Устремляя $S\to\infty,$ мы получаем зануляющуюся поверхностную плотность. Весь добавочный компенсирующий положительный заряд оказывается бесконечно далеко по сторонам.

[Alex-Yu]

reterty в сообщении #1390183 писал(а):

Одним зарядом-изображением Вы на двух поверхностях (напоминаю, что толщина пластинки сравнима с расстоянием $h$) граничным условиям не удовлетворите.

А чего там удовлетворять. Поле равно нулю и все дела. Заряд-изображение он фиктивный, никакого поля ни в пластине, ни с другой стороны пластины он не создает.

В общем Вы просто не понимаете суть метода изображений.

-- Пн апр 29, 2019 20:04:30 --

Munin в сообщении #1390199 писал(а):

Вы что, воображаете, что поле заряда-изображения появляется с другой стороны пластинки?

Во-во, именно это ТС и предполагает. Что есть полная чепуха.

[reterty]

Alex-Yu в сообщении #1390200 писал(а):

reterty в сообщении #1390183 писал(а):

Одним зарядом-изображением Вы на двух поверхностях (напоминаю, что толщина пластинки сравнима с расстоянием $h$) граничным условиям не удовлетворите.

А чего там удовлетворять. Поле равно нулю и все дела. Заряд-изображение он фиктивный, никакого поля ни в пластине, ни с другой стороны пластины он не создает.

В общем Вы просто не понимаете суть метода изображений.

Кроме равенства нулю напряженности поля всередине пластины должно еще иметь место обращение в нуль касательной составляющей напряженности на обеих поверхностях

[fred1996]

Пусть у нас бесконечная проводящая пластина делит пространство на правую и левую часть. Точечный заряд находится справа. Тогда индуцированный заряд на поверхности, ближайшей к точечному заряду полностью экранирует этот заряд в левом полупространстве. Так что поле внутри пластины ноль. Отсюда легко считается плотность индуцированного заряда на пластине. Ну а этот индуцированный заряд создает в правом полупространстве такое же поле, как отрицательный заряд изображения слева от пластины. Так что заряд один. Стоит еще наверное упомянуть, что уравнение Лапласа с известным граничным условием имеет единственное решение. Ну а заряд изображения и дает нам такое решение.
Два заряда изображения получаются если у нас не плоскость, а сфера конечного радиуса. При увеличения радиуса сферы до бесконечности второй заряд изображения тоже стремится в бесконечность. Так что в пределе остается один заряд. А вот если сферу заземлить на бесконечность, тогда второй заряд изображения сразу перетечет в бесконечность. Чтобы создался нулевой потенциал сферы (как в бесконечности).

[Alex-Yu]

reterty в сообщении #1390201 писал(а):

должно еще иметь место обращение

Я же говорил, что Вы не понимаете эту тему. Что Вы и подтверждаете своими записями. Задача электростатики (граничная) решается в полупространстве. Внутренность пластины и вторая сторона вообще к этой задаче отношения не имеют (в проводнике априори ноль, а с другой стороны нет источников поля, поэтом тоже банальный ноль, решать просто нечего).

Впрочем, можете найти плотность заряда на одной стороне пластины (при одном заряде-изоражении) и далее по принципу суперпозиции убедиться (если сумеете интеграл взять), что этот заряд вместе с исходным зарядом дают в точности ноль во втором полупространстве.

И бога ради, хватит глупости писать. Вам уже все объяснили, вполне достаточно.

-- Пн апр 29, 2019 20:21:12 --

fred1996 в сообщении #1390202 писал(а):

Ну а заряд изображения и дает нам такое решение.

При этом этого зеркального заряда на самом деле нет. Просто В ОДНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ (но никак не в другом) он дает точно такое же поле, как реальный заряд, распределенный по поверхности (одной поверхности! на другой ничего нет).

[Munin]

reterty в сообщении #1390201 писал(а):

Кроме равенства нулю напряженности поля всередине пластины должно еще иметь место обращение в нуль касательной составляющей напряженности на обеих поверхностях

Выписанное мной решение этому удовлетворяет.

-- 29.04.2019 16:35:40 --

Alex-Yu в сообщении #1390205 писал(а):

При этом этого зеркального заряда на самом деле нет. Просто в одном полупространстве (но никак не в другом) он дает точно такое же поле, как реальный заряд, распределенный по поверхности (одной поверхности! на другой ничего нет).

Это верно :-) Зазеркалья просто нет :-)

-- 29.04.2019 16:39:03 --

fred1996 в сообщении #1390202 писал(а):

Стоит еще наверное упомянуть, что уравнение Лапласа с известным граничным условием имеет единственное решение.

В данном случае, в граничные условия необходимо добавить условия на бесконечности.

[superkonev]

reterty, нужно найти поле в полупространстве, ограниченном первой плоскостью пластины. А вторая поверхность пластины вообще не важна. Она может быть кривой и с пупырышками. От этого поле в полупространстве не изменится. Зная поле, найдём силу. А распределения по условию задачи искать не нужно. Хотя, они и зависят от обоих поверхностей.