Производная Фреше, преобразование выражения

[Alexzord]

Разбираю теорему об асимптотических формулах для собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для уравнения $-y''+q(x)y=\lambda y$. Обозначения такие: $\mu _n = \mu _n (q)$ - $n$-ое собственное значение, соответствующее функции $q \in L^2[0,1]$, $g_n(x,q)$ - собственная функция, соответствующая $\mu_n$.
Было доказано, что $\frac{\partial \mu _n}{\partial q(t)} = g_n^2(t,q)$ (здесь $\frac{\partial \mu _n}{\partial q(t)}$ - линейный функционал на $L^2$ из теоремы Рисса, задающий дифференциал отображения $\mu _n: \ L_2 \rightarrow \mathbb{C}$). В доказательстве теоремы непонятно преобразование интеграла:

$$\mu_n - n^2 \pi^2 = \mu_n(q) - \mu_n (0) = \int_0^1 \frac{d}{dt} \mu_n(tq) dt = \int_0^1 \left\langle g_n^2(x,tq),q \right\rangle dt$$

Первое равенство - просто тождественное преобразование ($\mu_n (0) = n^2\pi^2$), второе - формула Ньютона-Лейбница. А третье вот непонятно. Написано, что это следует из равенства, написанного выше. Помогите расписать это более подробно.

[Dan B-Yallay]

Alexzord в сообщении #1389381 писал(а):

$$... \int_0^1 \frac{d}{dt} \mu_n(tq) dt = \int_0^1 \left\langle g_n^2(x,tq),q \right\rangle dt$$

По моему, тут под интегралами с обеих сторон написано не что иное, как утверждение, что производная $\dfrac d {dt}\mu_n(tq)$ по направлению $q$ (то бишь произв. Гато) равна скалярному произведению "градиента" (производная Фреше) $g^2(x,tq)$ на направляющий вектор $q$. По лемме Рисса, это как раз значение функционала $g^2$ на элементе $q$
Правда не хватает условия $||q||_{L_2} = 1$

Производная по направлению в $\mathbb R^n$

Не исключено, что я ошибаюсь, пусть меня поправят более знающие товарищи.

[Alexzord]

Dan B-Yallay в сообщении #1389402 писал(а):

Правда не хватает условия $||q||_{L_2} = 1$

Есть условие, что $q$ берутся из ограниченного подмножества $L_2$.

Сейчас подумаю над тем, что Вы написали. Спасибо.

[Alexzord]

Dan B-Yallay в сообщении #1389402 писал(а):

По моему, тут под интегралами с обеих сторон написано не что иное, как утверждение, что производная $\dfrac d {dt}\mu_n(tq)$ по направлению $q$ (то бишь произв. Гато) равна скалярному произведению "градиента" (производная Фреше) $g^2(x,tq)$ на направляющий вектор $q$.

Все-таки, если судить по определению из википедии, то слева не производная по Гато. А справа, если расписать через $\mu_n$, то вот что:

$$\left\langle g_n^2(x,tq), q\right\rangle = \left\langle\frac{\partial \mu_n}{\partial tq}, q\right\rangle$$

И как свести одно к другому, я так и не понимаю.

[Dan B-Yallay]

Alexzord в сообщении #1390121 писал(а):

Все-таки, если судить по определению из википедии, то слева не производная по Гато.

Да Вы правы, я как-то упустил из виду что $\mu_n(0)= n^2\pi^2$. В моём предположении справа должен был бы стоять нуль.

Надо подумать. Надеюсь также, что сюда заглянут более квалифицированные участники.

[g______d]

Всегда проще сначала написать всё для матриц. Пусть $\lambda(t)$ -- $n$тое собственное значение матрицы $A+tB$, $v(t)$ -- соответствующий нормированный собственный вектор, $\|v(t)\|=1$.

Тогда

$$ \lambda(t)=\lambda(t)\|v(t)\|^2=\langle \lambda(t)v(t),v(t)\rangle=\langle (A+tB)v(t),v(t)\rangle =\langle Av(t),v(t)\rangle+t \langle Bv(t),v(t)\rangle. $$

$$ \dot{\lambda}(t)=\langle Bv(t),v(t)\rangle +\langle (A+tB)\dot{v}(t),v(t)\rangle+\langle (A+tB)v(t),\dot{v}(t)\rangle $$

$$ =\langle Bv(t),v(t)\rangle+\langle \dot{v}(t),(A+tB)v(t)\rangle+\langle (A+tB)v(t),\dot{v}(t)\rangle=\langle Bv(t),v(t)\rangle+\lambda(t)\{\langle \dot{v}(t),v(t)\rangle+\langle v(t),\dot{v}(t)\rangle\}. $$

Последнее слагаемое равно $\lambda(t)\frac{d}{dt}\langle v(t),v(t)\rangle$, то есть нулю.

Я использовал самосопряжённость $A+tB$. Наверное, можно немного короче, но мне лень думать и переписывать. Доказательство для случая в исходном топике отличается только обозначениями (или можно даже без этого обойтись, сказав, что $A=-\frac{d^2}{dx^2}$ с краевыми условиями Дирихле, $B=q$).

[svv]

Alexzord в сообщении #1390121 писал(а):

И как свести одно к другому, я так и не понимаю.

Возьмём функции $q(x), p(x)$ и рассмотрим выражение $\mu_n(q+\varepsilon p)$. Пусть
$\left.\dfrac{d\mu_n(q+\varepsilon p)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\int\limits_a^b K(q, x)\;p(x)\;dx=\left\langle K(q,\cdot),\;p\right\rangle$
где $K$ не зависит от $p$. Тогда $K(q, x)$ — функциональная производная $\mu_n$ по функции $q$ в точке $x$. В Вашей книге было показано, что она равна $g_n^2(q, x)$.
Теперь вместо $q$ и $p$ подставим соответственно $tq$ и $q$, получим
$\dfrac{d\mu_n(tq)}{dt}=\left\langle g_n^2(tq,\cdot),\;q\right\rangle$

[Alexzord]

svv в сообщении #1390143 писал(а):

Теперь вместо $q$ и $p$ подставим соответственно $tq$ и $q$, получим
$\dfrac{d\mu_n(tq)}{dt}=\left\langle g_n^2(tq,\cdot),\;q\right\rangle$

Спасибо, разобрался)

Сначала не понял, почему

$$\left\frac{d \mu_n (tq + \varepsilon q)}{d\varepsilon} \right|_{\varepsilon =0} = \frac {d \mu_n (tq)}{dt}$$

Распишу чуть поподробнее для истории:

$$\left\frac{d \mu_n (tq + \varepsilon q)}{d\varepsilon} \right|_{\varepsilon =0} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\mu_n(tq + \varepsilon q) - \mu_n (tq)}{\varepsilon} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\mu_n((t + \varepsilon) q) - \mu_n (tq)}{\varepsilon} = \frac {d \mu_n (tq)}{dt}$$

[Dan B-Yallay]

(Так это всё-таки Гато ?)

Alexzord в сообщении #1390276 писал(а):

Распишу чуть поподробнее для истории:

$$\textcolor{blue}{\left\frac{d \mu_n (tq + \varepsilon q)}{d\varepsilon} \right|_{\varepsilon =0}} = \textcolor{brown}{\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\mu_n(tq + \varepsilon q) - \mu_n (tq)}{\varepsilon}} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\mu_n((t + \varepsilon) q) - \mu_n (tq)}{\varepsilon} = \frac {d \mu_n (tq)}{dt}$$

Wiki писал(а):

Suppose ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are locally convex topological vector spaces (for example, Banach spaces), ${\displaystyle U\subset X}$ is open, and ${\displaystyle F:X\to Y}$.
The Gateaux differential ${\displaystyle dF(u;\psi )}$ of ${\displaystyle F}$ at ${\displaystyle u\in U}$ in the direction ${\displaystyle \psi \in X}$ is defined as

$${\displaystyle dF(u;\psi )=\textcolor{brown}{\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}}= \textcolor{blue}{\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}}} $$

[Red_Herring]

Dan B-Yallay в сообщении #1389402 писал(а):

Правда не хватает условия $||q||_{L_2} = 1$

Норма $g$, не $q$. И для вариаций традиционно используется $\delta$, а не $d$ (чтоб не путать, например, с $dx$). Связанная задача: при условии $g_n(a)=g_n(b)=0$ найти производные от $\mu_n$ по $a$ и $b$

[Dan B-Yallay]

Red_Herring в сообщении #1390478 писал(а):

Норма $g$, не $q$

Почему? Мне казалось, что направление, в котором задаётся дифференцирование, это именно $q$ а не $g$.

-- Вт апр 30, 2019 14:25:21 --

Red_Herring в сообщении #1390478 писал(а):

И для вариаций традиционно используется $\delta$, а не $d$

По умолчанию писал в уже заданных ТС-ом используемых обозначениях.

[Red_Herring]

Dan B-Yallay в сообщении #1390480 писал(а):

Почему? Мне казалось, что направление, в котором задаётся дифференцирование

Во первых, это условие на $g_n$ заведомо нужно. Во-вторых, на $q$ оно не нужно, ну просто потому что в условии дифференцирования сложной функции его нет, хотя бы потому, что $q$ должно принадлежать линейному пространству, на котором норма может быть даже не задана. Поэтому имеет смысл вводить $\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{\ell}}=\langle \nabla u,\boldsymbol{\ell}\rangle$, без деления на длину $\boldsymbol{\ell}$ (а авторы тех учебников по Calculus II, которые делят, должны быть обваляны в смоле и перьях, как вредители и саботажники).

[Dan B-Yallay]

Red_Herring в сообщении #1390486 писал(а):

авторы тех учебников по Calculus II, которые делят, должны быть обваляны в смоле и перьях, как вредители и саботажники

Видимо, я обучался по ним, потому и заселo в голове.

[Red_Herring]

Dan B-Yallay в сообщении #1390490 писал(а):

Видимо, я обучался по ним, потому и засела в голове эта ересь.

Иногда это имеет смысл--если надо найти направление скорейшего убывания или роста.

[Alexzord]

Red_Herring, буду бы благодарен, если подскажете литературу, где об этом всём лучше прочитать.

И еще, для чего все-таки необходима единичная норма $g_n$?