Зеркала

[vlmit]

В статье о математике Клоде Шенноне встретилось упоминание его интервью журналу "Omni"

Цитата:

Вопрос (журнал OMNI): Это правда, что вы исследовали идею зеркальных комнат?

Шеннон: Да. Я пытался установить все возможные варианты зеркальных комнат, имеющие смысл. То есть таких комнат, чтобы если вы смотрели по сторонам, находясь внутри, то все пространство оказалось бы поделенным на целую кучу комнат, и вы находились бы в каждой из них, а вся эта картина уходила бы в бесконечность без каких-либо противоречий.

Я думаю, что было бы семь таких комнат. Я планировал их все построить – здесь у себя в доме, места тут хватает – и устраивать людям волнующий аттракцион. Самым простым вариантом был бы обычный куб, где вы просто увидели бы бесконечную серию себя самих, уходящую в дальнюю даль. А все пространство было бы вполне разумно поделено на такие кубические структуры. Но вот другие типы комнат, вроде тетраэдра и так далее, обещали намного более сложные и интересные структуры. И я бы их построил, если бы только сумел закончить все другие мои проекты!

Не производя заранее сложных вычислений, разумно ли предполагать, что все варианты конструкций зеркальных комнат, которые планировал построить Шеннон, принадлежат множеству правильных и полуправильных многогранников?

[svv]

Думаю, нет. Например, не вижу причин, по которым комната не могла бы быть прямоугольным параллелепипедом, или треугольной призмой.
С другой стороны, годятся не все полуправильные или даже правильные многогранники. Тут лучше перейти в 2D и увидеть, что треугольные комнаты годятся, а шестиугольные — нет.
Кстати, понятны ли слова Шеннона «без каких-либо противоречий»? Представляете ли Вы, как выразить требование «непротиворечивости» зеркального мира математически?

[arseniiv]

О, после слов про шестиугольники мне, кажется, стало понятно, что имеется в виду — но это можно требовать только от комнат, которыми можно (периодически) замостить плоское пространство, а тогда их вообще мало получится — наберётся ли на семь? И считать ли кубическую комнату частным случаем параллелепипедной?

[vlmit]

Уважаемый svv!
Попробую дать ужасное определение требованию, надеюсь, Вы поправите. Картина изображений рёбер искомой конструкции, их отражений в других гранях и так далее, в каждой зеркальной грани должна получаться одинаковой (поэтому параллелепипед или треугольная призма не годятся). Исходя из этого, я предполагал, что семь возможных комнат надо искать среди правильных многогранников и каталановых тел, которых всего восемнадцать (или двадцать), а изображение рёбер и их отражений в каждой грани для каждого непротиворечивого случая можно задать с помощью последовательности. В чём конкретно заключается отсутствие "каких-либо" противоречий в зеркальных картинах я и рассчитывал узнать, проводя расчеты (но размышления о правильных многогранниках вызвали сомнения в правильном понимании задачи).

[DeBill]

svv
А почему шестиугольные не годятся?

[svv]

Да, Вы правы, картина изображений, видимых через разные зеркала, должна получаться одинаковой. Я хочу показать это на двумерном примере. Возьмём зеркальную комнату в виде правильного треугольника. Поместим в неё какой-нибудь несимметричный объект, чтобы лучше различать разные ориентации треугольника (картинка 1). Если мы находимся в зеркальной комнате, мы сразу за каким-нибудь зеркалом видим вторую комнату, симметричную нашей относительно этого зеркала (картинка 2). За второй комнатой видим следующую (картинка 3). Она возникает уже благодаря двум отражениям света, и на нашем рисунке мы её получаем двумя последовательными отражениями исходного треугольника, вместе с объектом.

Дорисовывая таким образом всё новые и новые комнаты, мы замостим плоскость треугольниками:

Важно, что построение обеспечивает определённую ориентацию каждого следующего треугольника. Некоторые треугольники можно получить разными последовательностями отражений, но ориентация в каждом из способов должна получаться одна и та же — в этом и состоит правило согласованности. Так и будет, если любые два смежных треугольника будут зеркально симметричны относительно общей стороны (с учётом внутренних объектов, конечно).

[arseniiv]

На эту тему я нарисовал небольшое кривомышее безобразие, если кому-то оно будет интересно. (Это вид изнутри комнаты.) Приятно видеть, что угадал, что имелось в виду.

(Оффтоп)

[svv]

DeBill

Мы находимся в реальной «синей» комнате, прямо за зеркалом видим «зелёную» (левая картинка). Стрелочка начинается на том месте, где стоим, а заканчивается на том месте, куда смотрим. Всё хорошо.
Теперь немного отойдём в сторону (правая картинка) и посмотрим в сторону стрелочки. Мы ожидаем увидеть ту же зелёную комнату, правда, теперь между нами и зелёной комнатой кусочек красной. Но теперь в зелёной комнате как-то всё по-другому. А всего-то чуть отошли в сторону.

Пусть в середине синей комнаты находится правая тройка векторов. В первом случае (через одно зеркало) мы увидим в зелёной комнате левую тройку, а во втором случае (через два зеркала) опять правую. Непорядок!

arseniiv, OK.

[DeBill]

svv
Ааа, понЯл! Забавно! А как насчет 7 комнат?

[svv]

DeBill, готового ответа нет, буду рад Вашей помощи!

[Someone]

Э. Б. Винберг. Калейдоскопы и группы отражений. Матем. просв., 2003, выпуск 7, 45–63.

[svv]

Someone
Спасибо, статья, что называется, в точку.

[amon]

vlmit в сообщении #1389346 писал(а):

Самым простым вариантом был бы обычный куб, где вы просто увидели бы бесконечную серию себя самих, уходящую в дальнюю даль.

А даже в этом случае все не так тривиально. Два зеркала, поставленные под прямым углом восстанавливают ориентацию, поэтому вблизи угла будут два изображения - одно зеркальное, а другое "нормальное". Это можно увидеть в обычном трельяже, поставив створки под прямым углом. Что там будет при отражении от трехгранного угла при вершине я быстро не соображу. Поэтому картина

svv в сообщении #1389457 писал(а):

Пусть в середине синей комнаты находится правая тройка векторов. В первом случае (через одно зеркало) мы увидим в зелёной комнате левую тройку, а во втором случае (через два зеркала) опять правую. Непорядок!

будет наблюдаться даже в кубической комнате.

[svv]

amon, я не согласен. Эффект может быть только в том случае, если в «зеркальном мире» существует замкнутый путь из комнаты в неё же через нечётное число стенок между комнатами. С кубической решёткой такого не будет. (Если что, пути через рёбра и вершины в 3D запрещены.)

[amon]

svv в сообщении #1389540 писал(а):

amon, я не согласен.

А Вы возьмите два зеркала и поэкспериментируйте. Если никогда этого не делали, будете удивлены.