Бозе-операторы

[StaticZero]

Прошу прощения за тупой вопрос. Вот есть двухэлектронное состояние $\left|n_1, n_2\right\rangle$, которое получается из вакуума с помощью оператора $\hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1$. Насколько я понимаю, состояние, получаемое с помощью бозевских операторов, уже антисимметризовано. Значит, если мы переставим состояния местами, то получим $\left|n_2, n_1\right\rangle = -\left|n_1, n_2\right\rangle$. Теперь запишем

$$ \left\langle n_1, n_2 \middle| n_1, n_2 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \hat c_1 \hat c_2 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle, $$

$$ \left\langle n_2, n_1 \middle| n_1, n_2 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \hat c_2 \hat c_1 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle. $$

У меня трудности с пониманием, какой порядок нужно в бра-векторе взять. И трудности с упрощением операторного выражения посередине, чтобы проверить, как на самом деле. Помогите, пожалуйста, распутаться.

[amon]

StaticZero в сообщении #1388787 писал(а):

Насколько я понимаю, состояние, получаемое с помощью бозевских операторов, уже антисимметризовано.

А с какого будуна состояние бозе-частиц должно быть антисимметричным? Бозе-операторы коммутируют, значит $ \left|n_1, n_2\right\rangle=(c_1^+)^{n_1}(c_2^+)^{n_2}\left|0\right\rangle=(c_2^+)^{n_2}(c_1^+)^{n_1}\left|0\right\rangle= \left|n_2, n_1\right\rangle.$ Или я чего-то как всегда не понял?

[StaticZero]

amon в сообщении #1388789 писал(а):

Или я чего-то как всегда не понял?

Не знаю. Мне показалось, что вы слегка проглядели

StaticZero в сообщении #1388787 писал(а):

двухэлектронное

[amon]

StaticZero в сообщении #1388787 писал(а):

Вот есть двухэлектронное состояние

А тогда не бозе, а ферми. Операторы $c^+$ антикоммутируют, и $ \left|n_1, n_2\right\rangle=c_1^+c_2^+\left|0\right\rangle=-c_2^+c_1^+\left|0\right\rangle= -\left|n_2, n_1\right\rangle.$

[StaticZero]

amon
а бра-векторы какой порядок наследуют?

[amon]

StaticZero в сообщении #1388794 писал(а):

а бра-векторы какой порядок наследуют?

Не понял вопроса. Уточните пожалуйста что Вы имеете в виду.

[StaticZero]

Если я из кета делаю бра и их перемножаю, то должна получиться единица. Из вот этих выражений я не могу определить, кто из них $+1$, а кто из них $-1$ (или что-то ещё). Вот тот бра, кто даёт $+1$, я и хочу определить...

StaticZero в сообщении #1388787 писал(а):

$$ \left\langle n_1, n_2 \middle| n_1, n_2 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \hat c_1 \hat c_2 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle, $$

$$ \left\langle n_2, n_1 \middle| n_1, n_2 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \hat c_2 \hat c_1 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle. $$

[amon]

Состояние определено как
$ \left|n_1, n_2\right\rangle=c_1^+c_2^+\left|0\right\rangle.$ Тогда $(\left|n_1, n_2\right\rangle)^+=\left\langle0\right|c_2c_1$ поскольку $(c_1^+c_2^+)^+=c_2c_1$

[StaticZero]

Видимо, мой вопрос плохо поставлен. Пойду тогда ещё подумаю...

[amon]

StaticZero в сообщении #1388796 писал(а):

Вот тот бра, кто даёт $+1$, я и хочу определить...

Сделаем еще одну попытку. Давайте считать.
\begin{align*} \left\langle n_1, n_2 \middle| n_1, n_2 \right\rangle &= \left\langle 0 \middle| \hat c_1 \hat c_2 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle= \left\langle 0 \middle| \hat c_1(1-\hat c^\dagger_2\hat c_2)\hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle=\left\langle 0 \middle| \hat c_1\hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle+0=1\\ \left\langle n_2, n_1 \middle| n_1, n_2 \right\rangle &= \left\langle 0 \middle| \hat c_2 \hat c_1 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle = - \left\langle 0 \middle| \hat c_1 \hat c_2 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle=-1 \end{align*}
Это то,что Вы хотели?

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1388796 писал(а):

Если я из кета делаю бра

Это есть ничто иное, как эрмитово сопряжение. Эрмитово сопряжение меняет порядок сомножителей на обратный.

$$ (c^+_1c^+_2 |0\rangle)^+ = \langle 0 | c_2c_1 $$

Представьте себе кет как матрицу-столбец... Тогда бра -- это матрица-строка. Ну а дальше транспонируем и комплексно сопрягаем.

[StaticZero]

amon в сообщении #1388802 писал(а):

StaticZero в сообщении #1388796 писал(а):

Вот тот бра, кто даёт $+1$, я и хочу определить...

Сделаем еще одну попытку. Давайте считать.
\begin{align*} \left\langle n_1, n_2 \middle| n_1, n_2 \right\rangle &= \left\langle 0 \middle| \hat c_1 \hat c_2 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle= \left\langle 0 \middle| \hat c_1(1-\hat c^\dagger_2\hat c_2)\hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle=\left\langle 0 \middle| \hat c_1\hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle+0=1\\ \left\langle n_2, n_1 \middle| n_1, n_2 \right\rangle &= \left\langle 0 \middle| \hat c_2 \hat c_1 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle = - \left\langle 0 \middle| \hat c_1 \hat c_2 \hat c^\dagger_2 \hat c^\dagger_1 \middle| 0 \right \rangle=-1 \end{align*}
Это то,что Вы хотели?

Да, оно самое. Как вы в первой строчке ноль получили во втором слагаемом? Просто увидели, что рождено состояние 1, а затем уничтожается 2?

[amon]

StaticZero в сообщении #1388833 писал(а):

Как вы в первой строчке ноль получили во втором слагаемом?

Я, воспользовавшись правилами (анти) коммутации, перетащил оператор уничтожения к вакууму. Операторы с разными значками антикоммутируют, единственный случай, когда появится что-то ненулевое - антикоммутатор $c_i$ и $c_i^+$ с одинаковыми значками.

[StaticZero]

amon, спасибо большое, это что, что хотелось - понять, какова может быть стратегия упрощения операторных выражений.

[realeugene]

Внутри бра- и кет-векторов пишутся не операторы, а имена состояний. Сам Дирак в Принципах квантовой механики порядок букв в имени внутри сопряженного бра-вектора не обращает. Обозначения его - ему и решать, как правильно.