Упражнения из Матанализа Зорича, затруднения.

[monochrome]

Пусть $\Delta X$ - диагональ множества$X^2$, а $\Delta Y$ - диагональ множества $Y^2$.
Покажите, что если отношения $\mathcal{R}_1\subset$ $ X \times Y$ и $\mathcal{R}_2\subset$ $ Y \times X$ таковы, что $(\mathcal{R}_2\circ\mathcal{R}_1=\Delta X)\wedge(\mathcal{R}_1\circ\mathcal{R}_2=\Delta Y)$, то они оба функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств X и Y.
Решение:
Отношение является функциональным, если выполняется условия (стр 45)
$_x\mathcal{R}_y_1 = _x\mathcal{R}_y_2 \Rightarrow y_1=y_2$
Так же отношение между элементами функционально, если для каждого элемента $x\inX$ существует единственный $y\inY$, находящийся с ним в отношении
Те необходимо доказать биективность $\mathcal{R}_1$ и $\mathcal{R}_2$?
$x_1 $\ne$ x_2 \Rightarrow \Delta X_1 \ne \Delta X_2$ $\Rightarrow _x_1\mathcal{R}_2\circ\mathcal{R}_1_x_1$ \ne _x_2\mathcal{R}_2\circ\mathcal{R}_1_x_2$ $\Rightarrow _y_1\mathcal{R}_1_x_1 \ne _y_2\mathcal{R}_1_x_2$ - следовательно $\mathcal{R}_1$ - инъекция.
Вот как доказать сюръекцию $\mathcal{R}_2 $, ума не приложу.

-- 19.04.2019, 15:32 --

Еще задача
Пусть $\mathcal{R} \subset X^2$. Покажите, что условие транзитивности отношения $\mathcal{R} $ равносильна условию $\mathcal{R}\circ\mathcal{R} \subset \mathcal{R}$
Решение:
Транзитивность это $ (_a\mathcal{R}_b)\wedge (_b\mathcal{R}_c) \Rightarrow _a\mathcal{R}_c$
Действительно, это можно представить как:
$_b \mathcal{R}_c\circ _a\mathcal{R}_b \subset _a\mathcal{R} _c$
Не слишком скомкано?

[iifat]

Не

monochrome в сообщении #1388568 писал(а):

$_x\mathcal{R}_y_1 = _x\mathcal{R}_y_2 \Rightarrow y_1=y_2$

, а, в ваших обозначениях, $_x\mathcal{R}_y_1\wedge_x\mathcal{R}_y_2 \Rightarrow y_1=y_2$. Аналогично и далее. Там ещё у вас, по-моему, аргументы местами перепутаны.

monochrome в сообщении #1388568 писал(а):

Решение

Начало хорошее, дальше снова безалаберность.

[arseniiv]

Aside: я думаю, $_x\mathcal R_{y1}$ — это опечатка, и имелось в виду обычное $x\mathrel{\mathcal R}y_1$. Иначе вообще же нечитаемо.

-- Пт апр 19, 2019 22:44:03 --

Проверил, так и есть. И молодцы кто там верстал, пробелы тоже поставили (в большой куче книжек, где упоминаются отношения, не ставят пробелов ).

-- Пт апр 19, 2019 22:45:33 --

monochrome
Вы можете не ставить пробелы, если это совсем неудобно (код можно увидеть при наведении указателя мыши на формулу, если она есть, или при цитировании или копировании формулы как текст), но пожалуйста не делайте аргументы отношений нижними индексами.

[Connector]

Цитата:

Вот как доказать сюръективность $\mathcal{R}_{2}$ ума не приложу

Например, методом «от противного»

[Lia]

Connector

В этой теме точно не надо делиться наблюдениями. Можете завести свою.
Здесь исправьте цитату (выделяем нужное в посте автора мышью, жмем там же кнопку "Вставка"). И наберите правильно формулы в своем тексте.
Кроме того, крайне желательно избегать подсказок, слабо отличимых от полного решения. Это прямо запрещено правилами форума.

На всякий случай, информация: последний раз автор был на форуме в точности того числа, каким датирована эта его тема.

[Lia]

Для ТС и Connector

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.