Течение по трубе вязкой жидкости

[cloud_bear]

Отвечая на вопрос в соседней теме о поле в проводнике amon предложил мне рассмотреть гидростатическую аналогию, которая выглядит так - рассмотрим жидкость, которая движется из-за перепада давления, но с постоянной скоростью. Выделим в ней узкий диск, тогда, с одной стороны, давление и вязкость воды уравновесят друг друга (скорость не меняется), поэтому работа над выделенным диском ноль, с другой стороны, есть вязкость, значит будут потери энергии. Это псевдопарадокс, у меня следующее объяснение.
Возьмем конкретный пример - протекание вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. Задача решена в 6 томе ЛЛ, стр. 79. Скорость зависит от расстояния до оси трубы как $R^2-r^2$. Такая зависимость дает ненулевой тензор вязких напряжений, который и создает тормозящую силу на боковую поверхность диска (ось диска вдоль оси трубы), в точности равную ускоряющей силе из-за перепада давлений. Однако, хотя силы равны, мощности тормозящей и ускоряющей сил различны, так как скорость жидкости убывает к краю диска. Тем не менее, кинетическая энергия не растет, так как избыток мощности уходит двумя путями - во-первых, есть поток энергии с боковой поверхности диска, а во-вторых, есть диссипационный член. Теперь понятно, почему парадокс ложный, градиент давления совершает бОльшую работу, чем силы вязкости, хотя, динамически, равнодействующая всех сил для диска равна нулю и ЦМ не ускоряется.
Спасибо amon за стимул почитать хорошую книжку.

[realeugene]

Непонятно, что вам непонятно?
Рассмотрите санки, которые тянет ребёнок за верёвку с постоянной скоростью. Силы уравновешены, энергия ребёнка расходуется, тепло выделяется.

[cloud_bear]

Это не совсем подходящая аналогия. В случае жидкости, если бы все точки диска двигались с одинаковой и постоянной скоростью, то жидкость не могла бы нагреваться, так как равнодействующая для диска ноль и полная работа над диском ноль. При этом наличие вязкости подразумевает тепловые потери. Однако, вязкое трение возникает только при градиенте скоростей, так что все нормально :)

[realeugene]

cloud_bear в сообщении #1388513 писал(а):

В случае санок две силы легко различаются.

А ну-ка расскажите, какие две силы вы имеете в виду? На санки действует три силы, сумма которых нулевая: от верёвки, полозьев и сила тяжести. Две первые совершают в точности противоположную работу, сила тяжести работу не совершает.

[cloud_bear]

Тогда уж четыре силы - еще и реакция опоры :) Сорри за неясность, поправил предыдущее сообщение.

[realeugene]

cloud_bear в сообщении #1388518 писал(а):

Тогда уж четыре силы - еще и реакция опры

Да, это верно, спасибо.

Аналогия с санками совершенно подходящая. Суммарная работа сил, действующих на санки, равна нулю. Но ребёнок при этом тратит энергию на нагрев снега.

[cloud_bear]

ОК. Давайте подробно. Если зафиксировать данный объем, то в жидкости его кинетическая энергия будет меняться а) из-за потока, связанного с градиентом давления ($+p\bar v$) - аналог сила тяги для санок; б) $-\sigma\bar v$ поток тепла из-за вязкости - аналога нет, так как Земля считается бесконечно тяжелой; с) объемные потери из-за диссипации $-\sigma \frac{\partial \bar v}{\partial \bar x}$ - аналог работа трения в области соприкосновения санок и Земли. Аналогия неплохая, но неидеальная, вот что я хотел сказать.

[realeugene]

cloud_bear в сообщении #1388639 писал(а):

б) $-\sigma\bar v$ поток тепла из-за вязкости

Это что такое?

[cloud_bear]

Соори, поток кинетической энергии, конечно, а не тепла : $-\sigma_{ij}v_j$.

[realeugene]

cloud_bear в сообщении #1388646 писал(а):

Соори, поток кинетической энергии,

Что такое $\sigma_{ij}$?

[cloud_bear]

Вязкий тензор напряжений в терминологии 6 т. ЛЛ. В других книгах, возможно, называется по-другому.

[realeugene]

И какое он имеет отношение к потоку кинетической энергии? По-вашему, чем меньше вязкость, тем меньше и её поток в струе жидкости?

[cloud_bear]

Имеет прямое отношение, если написать производную кинетической энергии в заданном объеме. В ЛЛ т.6 есть соответствующая формула и целый раздел в начале второй главы.
На второй вопрос ответить не смогу, по-моему, он слишком общий. Что будет в случае стационарного движения несжимаемой жидкости в трубе я написал выше (только надо заменить тепло на кинетическую энергию).

[realeugene]

cloud_bear в сообщении #1388760 писал(а):

В ЛЛ т.6 есть соответствующая формула и целый раздел в начале второй главы.

Вот не нужно врать. Пожалуйста, перепечатайте сюда подразумеваемую вами формулу из ЛЛ6, не забыв указать её номер. И мы вместе с вами посмотрим, связана ли она вообще с "потоком кинетической энергии", как написали тут вы?

И, пожалуйста, выпишите правильное выражение для потока кинетической энергии в жидкости.

Если вы не понимаете ЛЛ6 - возьмите более простые книжки.

PS А на самом деле, не связывайтесь с гидродинамикой, пока не разберётесь с санками. Они проще.

[cloud_bear]

http://alexandr4784.narod.ru/l06/l6_gl02_16.pdf

Формула 16.1

Соглашусь с тем, что надо говорить не о потоке кинетической энергии, а просто о потоке энергии. Спасибо за уточнение. "Давно не держал в руках шашек."