2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 20:13 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Brukvalub в сообщении #1388126 писал(а):
что лишне в задаче на применение теорем анализа.
Для этого надо знать, что это задача на применение теорем матанализа, а из условия это никоим образом не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 22:44 


05/09/16
11461
Charlz_Klug в сообщении #1388084 писал(а):
И следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака,

Так у вас же не отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение17.04.2019, 14:21 


01/09/14
357
wrest в сообщении #1388150 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #1388084 писал(а):
И следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака,

Так у вас же не отрезок.
Да, у меня промежуток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение17.04.2019, 14:51 


05/09/16
11461
Charlz_Klug в сообщении #1388241 писал(а):
Да, у меня промежуток.

Бесконечный. У вашего промежутка $x \in [0,+ \infty)$ нет второго конца. Теорема Больцано-Коши ищет ноль дихотомическим поиском, разделяя начальный отрезок на два, потом ту половину где ноль - ещё на два и т.п. Но если у промежутка есть только один конец, а второго конца нет, то нельзя сделать первый шаг -- разделить промежуток напополам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение17.04.2019, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
wrest в сообщении #1388246 писал(а):
Теорема Больцано-Коши ищет ноль дихотомическим поиском

Эм, необязательно так. Хотя то, что на отрезке, конечно, существенно. Ну так это легко поправить)
Charlz_Klug
Наведите строгости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение19.04.2019, 22:53 


01/09/14
357
thething в сообщении #1388247 писал(а):
Хотя то, что на отрезке, конечно, существенно. Ну так это легко поправить)
Charlz_Klug
Наведите строгости.
Поскольку мы уже знаем, что функция $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ стремится к плюс бесконечности при $x$ стремящейся к плюс бесконечности, то у функции $f(x)$ существует бесконечно много значений больших нуля. Остаётся только выбрать любое из этих значений и применить теорему Больцано-Коши. Годится такая поправка или ещё что-то нужно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 00:54 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Charlz_Klug в сообщении #1388084 писал(а):
И следствие
Буквоедства ради: посмотрел несколько формулировок теоремы. Да, $[0;+\infty[$ можно считать интервалом, но два значения разных знаков таки нужно указать. Так что стоило б добавить, что коли уж функция стремится к $+\infty$, где-то она станет положительной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Можно ведь конструктивно указать значение $x_1>0$, для которого $f(x_1)>0$. Например, что-нибудь типа $x_1=\lvert a\rvert+\lvert b\rvert+\lvert c\rvert+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 06:51 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Someone в сообщении #1388657 писал(а):
Можно
Нужно! И да, разумеется, ничего тут сложного нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 07:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Charlz_Klug в сообщении #1388642 писал(а):
Годится такая поправка или ещё что-то нужно?
Да годится, конечно. Вся эта ловля блох, естественно, подразумевалась. У Вас была только одна серьезная ошибка (про область значений), а это все мелочи, которые нормальным студентом должны проговариваться автоматически, по первой просьбе преподавателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 10:16 


05/09/16
11461
iifat в сообщении #1388652 писал(а):
Буквоедства ради: посмотрел несколько формулировок теоремы. Да, $[0;+\infty[$ можно считать интервалом, но два значения разных знаков таки нужно указать. Так что стоило б добавить, что коли уж функция стремится к $+\infty$, где-то она станет положительной.

А можно ли тогда дополнить теорему? Ну типа если предел в плюс бесконечности существует и не ноль, то...
Рассуждения "раз на бесконечности предел положительный, то найдутся и положительные значения функции" выглядят подозрительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 11:39 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
wrest в сообщении #1388672 писал(а):
можно ли тогда дополнить теорему?
Разумеется. Но это уже не будет теорема Больцано-Коши :wink:
wrest в сообщении #1388672 писал(а):
выглядят подозрительно
Эээ... Стесняюсь спросить, что именно благородному дону кажется подозрительным? Это ж в чистом виде пределение предела! Неконструктивно — да, ну дык, ежли этим заморачиваться, Someone дал вполне, как понимаю, конструктивное значение. Да, такой вариант лучше ещё и тем, что не подгружает теорию пределов. Ну и вообще лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 11:50 


05/09/16
11461
iifat в сообщении #1388677 писал(а):
ежли этим заморачиваться, Someone дал вполне, как понимаю, конструктивное значение.

Да, к Someone вопросов нет, я в общем-то тоже хотел предложить ТС-у предъявить положительную точку вместо рукомахательных заявлений о том, что она есть. Но там была конкретная функция.

Я просто посмотрел пару учебников по матану (Фихтенгольца, в частности), и в них где-то рядом с теоремой Больцано-Коши написано "отсюда очевидно следует что у полиномов нечетных степеней есть по крайней мере один вещественный корень". Но очевидность не разъясняется, т.е. тут просто есть небольшой пробельчик, куда могут ускакивать блохи. Глянул книжку "контрпримеры в матане", но там, правда, ничего такого не нашел.

-- 20.04.2019, 11:57 --

iifat в сообщении #1388677 писал(а):
Да, такой вариант лучше ещё и тем, что не подгружает теорию пределов.

А чтобы сделать вывод не зная что за функция, а зная только что она непрерывна и предел на плюс бесконечности существует и неотрицательный, теорию пределов подгружать придётся. Имхо, задача из первого поста именно для этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 12:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
wrest в сообщении #1388679 писал(а):
где-то рядом с теоремой Больцано-Коши написано "отсюда очевидно следует что у полиномов нечетных степеней есть по крайней мере один вещественный корень". Но очевидность не разъясняется, т.е. тут просто есть небольшой пробельчик, куда могут ускакивать блохи.

Нет тут пробельчика. Полином нечетной степени на минус бесконечности стремится к минус бесконечности, а на плюс бесконечности -- к плюс бесконечности (ну или наоборот, зависит от знака старшего коэффициента). Следовательно найдётся такой отрезок, на концах которого функция будет иметь разные знаки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение20.04.2019, 14:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest в сообщении #1388679 писал(а):
Но очевидность не разъясняется
Если разъяснять всякую банальность, никаких книг не хватит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group