2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 14:52 


01/09/14
357
Прошу проверить доказательство.

Задача:
Докажите, что если в уравнении $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ свободный член $c$ отрицателен, то это уравнение имеет хотя бы один положительный корень

Доказательство:
Возьмём функцию $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Для ясности введём $c = -d$, где $d$ — число большее нуля. Тогда функцию $f(x)$ можно записать так: $f(x) = x^3 + ax^2 + bx -d$. Рассмотрим, что будет при $f(0)$. Значение функции $f(0) = 0^3 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 - d = -d$.
Теперь перепишем функцию $f(x)$ таким образом: $f(x) = x^3 \left ( 1 + \dfrac {a} {x} + \dfrac {b} {x^2} + \dfrac {c} {x^3} \right )$. Теперь рассмотрим, что будет если устремить $x$ к плюс бесконечности. Произойдёт следующее: выражение $1 + \dfrac {a} {x} + \dfrac {b} {x^2} + \dfrac {c} {x^3}$ устремляется к единице, а $x^3$ стремится к плюс бесконечности. Таким образом функция $f(x)$ на промежутке $x \in [0,+ \infty)$ отображается в промежуток $[-d, + \infty)$. Ко всему прочему, функция $f(x)$ — непрерывная и гладкая всюду, а значит неизбежно пересечёт прямую $x = 0$ в некоторой точке $x' > 0$. Отсюда заключаем, что утверждение верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 15:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):
Таким образом функция $f(x)$ на промежутке $x \in [0,+ \infty)$ отображается в промежуток $[-d, + \infty)$.
Ну, это утверждение неверно (но оно и не нужно). А так, в целом верное рассуждение.

-- Вт апр 16, 2019 19:23:21 --

Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):
неизбежно пересечёт
Я бы еще пояснил, откуда эта неизбежность (на основе какой теоремы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 17:23 


01/09/14
357
nnosipov в сообщении #1388060 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):
Таким образом функция $f(x)$ на промежутке $x \in [0,+ \infty)$ отображается в промежуток $[-d, + \infty)$.
Ну, это утверждение не верно (но оно и не нужно).
Да, что-то я погорячился. Понял.
nnosipov в сообщении #1388060 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):
неизбежно пересечёт
Я бы еще пояснил, откуда эта неизбежность (на основе какой теоремы).
По теореме Больцано — Коши. Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, $f(a) = A$ и $f(b) = B$, то для любого числа $C$, заключённого между $A$ и $B$, существует такая точка $\xi \in [a, b]$, что $f(\xi) = C$. И следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 17:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да, все верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 17:46 


01/09/14
357
nnosipov, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Спорное утверждение:
Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):
неизбежно пересечёт прямую $x = 0$ в некоторой точке $x' > 0$
:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Только это какая-то стрельба из пушки по воробьям. Куда проще воспользоваться теоремой Виета (или просто доказать ее часть, касающуюся выражения свободного члена через корни).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pphantom в сообщении #1388101 писал(а):
Куда проще воспользоваться теоремой Виета (или просто доказать ее часть, касающуюся выражения свободного члена через корни).

Особенно эффектно это прокатит, если 2 корня - комплексные. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Pphantom в сообщении #1388101 писал(а):
Только это какая-то стрельба из пушки по воробьям.
Почему из пушки? Очень естественная вещь, делающая утверждение очевидным. Формулы Виета тоже неплохо, но их плохо помнят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:45 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Brukvalub в сообщении #1388104 писал(а):
Особенно эффектно это прокатит, если 2 корня - комплексные.
А все равно. Они сопряженные (ну, надеюсь, мы сейчас не выясним, что коэффициенты многочлена были комплексными) и их произведение тем самым заведомо вещественно и положительно.

-- 16.04.2019, 18:47 --

nnosipov в сообщении #1388106 писал(а):
Очень естественная вещь, делающая утверждение очевидным.
Пожалуй.
nnosipov в сообщении #1388106 писал(а):
Формулы Виета тоже неплохо, но их плохо помнят.
Ну... именно для свободного члена результат очень легко и запомнить, и получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Brukvalub в сообщении #1388104 писал(а):
если 2 корня - комплексные
А что не так? Их произведение ведь положительно, а третий корень вещественный (и будет положительным).

-- Вт апр 16, 2019 22:53:52 --

Pphantom в сообщении #1388108 писал(а):
очень легко и запомнить, и получить
Оно, конечно, так, но ... вот у моих студентов на них почему-то аллергия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:55 


01/09/14
357
Brukvalub в сообщении #1388100 писал(а):
Спорное утверждение:
Charlz_Klug в сообщении #1388056 писал(а):
неизбежно пересечёт прямую $x = 0$ в некоторой точке $x' > 0$
Прошу раскрыть тему. Что не так с утверждением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Charlz_Klug
У Вас прямая не та (опечатались).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 18:58 


01/09/14
357
nnosipov в сообщении #1388110 писал(а):
Pphantom в сообщении #1388108 писал(а):
очень легко и запомнить, и получить
Оно, конечно, так, но ... вот у моих студентов на них почему-то аллергия.
Я тоже не знал. Теперь узнал, спасибо!

-- 16.04.2019, 19:59 --

nnosipov в сообщении #1388115 писал(а):
Charlz_Klug
У Вас прямая не та (опечатались).
Точно. Виноват. $y=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про положительный корень
Сообщение16.04.2019, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
nnosipov в сообщении #1388110 писал(а):
А что не так? Их произведение ведь положительно, а третий корень вещественный (и будет положительным).
Для этого нужно знать, что комплексные корни вещественного многочлена разбиваются на пары комплексно-сопряженных, что лишне в задаче на применение теорем анализа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group