Удлинение пружины под собственным весом

[KiKoss123]

Есть пружина. Ее подвесили без груза. Задача - найти удлинение под собственным весом.
Особо долго не думал: разбиваем нерастянутую пружину на маленькие части. Вводим линейную плотность.

$\tau = \frac{m}{L}$ - линейная плотность.

$\tau (L - x) g = kdl$ - по сути, 2 закон Ньютона для кусочка пружины, который находится на расстоянии $x$ от точки опоры.


Если просуммировать все $dl $ - получим искомое удлинение пружины. Но интегрировать в таком виде нельзя: нету $dx$
Модель, мне кажется, верная. Как бы подбить ее под интеграл?

Прикрепляю небольшой рисунок. На нем считаем, что пружина не растянута.

[LMA]

Линейная плотность зависит от $x$?

[warlock66613]

1) Ваши маленькие части правильно представлять как (соединённые) маленькие пружинки. Разные пружинки растянуты по разному, но каждая - равномерно.
2) Какова жёсткость каждой такой пружинки? Равна ли она $k$ - жёсткости большой пружины в целом?
3) Какие силы действуют на такую пружинку? Их должно быть три, у вас их почему-то две. Возможно, вы что-то потеряли.

[KiKoss123]

warlock66613
1) Это я знал)
2) А вот тут я лохонулся)) Конечно, считать будем через модуль Юнга, а не по школьной формуле
3) Их должно быть две) Тяжести и упругости. Они приложены к концу мини-пружины. Опору каждой мини-пружины считаем неподвижной, тк там равнодействующая ноль.

-- 04.04.2019, 03:22 --

Спасибо большое всем!

[EUgeneUS]

KiKoss123 в сообщении #1385862 писал(а):

Спасибо большое всем!

И что получилось-то?

KiKoss123 в сообщении #1385769 писал(а):

$\tau (L - x) g = kdl$

Это чушь. И вот почему:
1. символ $d$ означает, что стоящее за ним будет стремиться \ стремится к нулю
2. Получается, что слева - что-то конечное, а справа что-то очень маленькое, стремящееся к нулю. Бред.

Получив что-то подобное, нужно сразу начинать искать ошибку.

-- 04.04.2019, 07:38 --

KiKoss123 в сообщении #1385862 писал(а):

3) Их должно быть две) Тяжести и упругости. Они приложены к концу мини-пружины. Опору каждой мини-пружины считаем неподвижной, тк там равнодействующая ноль.

а) Где "там" равнодействующая ноль?
б) силы три, а не две.
в) У Вас покоится ц.т. "мини-пружинки", вот и запишите 2-й закон Ньютона для неё.

[KiKoss123]

EUgeneUS

[warlock66613]

KiKoss123, лучше ответ напишите.

[wrest]

KiKoss123
Поскольку сейчас вас отправят в карантин, и вероятность скорого возврата оттуда невелика, вот вам для размышления на досуге.
Представьте что пружина лежит горизонтально, нерастянута, и заделана одним концом неподвижно в опору. Прикладываем ко второму (свободному) концу силу скажем равную 1 кгс. Эта сила приложена к обоим концам, иначе бы пружина ускорялась, ну это ясно. Эта килограмм-сила приложена к пружине и она же приложена к опоре, так что натяжение везде в пружине одинаковое, равное 1 кгс. Допустим пружина растянулась на 10 сантиметров. Теперь допустим, что масса пружины аккурат 1 килограмм и её подвешивают за один конец, а второй висит свободно. Совершенно ясно, что среднее натяжение пружины теперь половина от первого опыта (с горизонтальной пружиной), потому что на верх действует одна килограмм-сила а на низ - ноль. Так что и растянется она вполовину.

Ну, это если без маленьких пружинок и дифференциального исчисления.

Получается это по двум причинам:
1. Пружина - Гуковская.
2. Поле силы тяжести - однородное.

Выкладки с дифференциалами\пределами проделать все равно бы надо.

[warlock66613]

Значит, вот это неверно:

warlock66613 в сообщении #1385810 писал(а):

(соединённые) маленькие пружинки. Разные пружинки растянуты по разному, но каждая - равномерно

(Результат получается в два раза меньше, чем надо.)

[wrest]

warlock66613 в сообщении #1386038 писал(а):

Значит, вот это неверно:

Почему же, все верно. Разбиваем на мелкие пружинки и считаем...
Может, ещё, для незамутненности мысли, сделать маленькие пружинки невесомыми но привесить к ним маленькие грузики, чтобы разделить подсчет растяжения и подсчет массы\веса.

[warlock66613]

wrest в сообщении #1386053 писал(а):

Разбиваем на мелкие пружинки и считаем...

...и получаем неверный результат, потому что растяжение каждой пружинки всё равно нельзя считать равномерным. Вот с грузиками - другое дело.

[wrest]

warlock66613 в сообщении #1386068 писал(а):

...и получаем неверный результат, потому что растяжение каждой пружинки всё равно нельзя считать равномерным.

Это пройдет при переходе к пределу\интегралу.

[warlock66613]

Вообще интересный софизм получился. Вот такой.

Считаем, что пружина с жёсткостью $k$ и массой $m$ разбита на $N$ равных по массе частей, где $N$ очень велико, так что каждая часть мала и её растяжение можно считать равномерным. Тогда на $i$-ю часть действуют сила натяжения верхней ($i+1$) прежины, сила тяжести и сила натяжения нижней ($i-1$) пружины, и

$$(kN)\Delta l_{i+1} - (m/N)g - (kN)\Delta l_{i-1} = 0,$$

где $\Delta l_i$ - удлинение $i$-й части Отсюда получаем, что $\Delta l_{i+1} = \frac{mg}{N^2 k} +\Delta l_{i-1}$. То есть с ростом $i$ удлинение растёт равномерно с шагом $\frac 1 2 \frac{mg}{N^2 k}$, то есть $\Delta l_{i} = \frac 1 2 \frac{mg}{N^2 k}i$. Суммируя от $0$ до $N-1$ получаем для $N \to \infty$:

$$\Delta l = \sum\limits_{i=0}^{N-1} \Delta l_i = \sum\limits_{i=0}^{N-1} \frac 1 2 \frac{mg}{N^2 k}i \to \frac{mg}{4k}.$$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.