Поле в проводнике

[amon]

cloud_bear в сообщении #1384627 писал(а):

То есть, для электрона нельзя записать уравнение $ma=eE+e[vxB]$? Этого я совсем не понимаю...

Если есть только электроны и внешнее поле, то получится не проводник, а двухэлектродная вакуумная лампа - вакуумный диод. Для него закон Ома не выполняется. Металл отличается тем, что кроме электронов в нем есть еще куча других вещей - узлы атомной решетки, случайные примеси, тепловые колебания атомов, просто колебания атомов и прочее, и прочее. Электрон может обмениваться энергией со всем остальным, поэтому в уравнении его движения должен присутствовать член, описывающий такой обмен. В равновесии приход и уход энергии в электронную подсистему уравновешены - сколько пришло, столько и ушло. Кроме того, электронов чертовски много (порядка $10^{22}$ в кубическом сантиметре), и только малая (можете оценить какая) их часть "участвует в создании тока", а остальные болтаются под ногами и мешают этому процессу. Поэтому в Ваши уравнения надо добавить взаимодействие с окружением и взаимодействие электронов между собой, и учесть, что скорость электрона - потенциального участника процесса создания тока без всякого электрического поля порядка $10^{5}$ м/сек. Все это написано, хотя бы тут. Поэтому написанные Вами уравнения для металла неверны. В них надо много чего дописывать и исправлять.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1384641 писал(а):

Если есть только электроны и внешнее поле, то получится не проводник, а двухэлектродная вакуумная лампа - вакуумный диод.

Позволю себе не согласиться с уважаемым amon. Вы, видимо, не поняли суть вопроса ТС. Все верно, есть ионы, примеси (фононы, кстати) и т.д. Но вопрос в другом. Все эти ионы, примеси и т.д. действуют на электрон все же через электрическое поле (не путать с тем полем, что в законе Ома). Поэтому электрон движется в поле, но сложном микроскопическом поле (причем еще и зависящем от движения этого электрона, вообще говоря, иначе релаксация энергии не получится).

Конечно, движение электронов в реальности квантовое. Но и классическая модель кое-что объяснить может. Тем более, что это в металле движение квантовое, а проводник -- это не обязательно металл. В этом смысле классическая теория тоже верна. А в этой классической модели движение электрона и описывается записанным уравнением. Только не надо путать поле $E$, что в этом уравнении, с макроскопическим полем, что в законе Ома.


Так что ссылаться на вакуумный диод не надо. Тем более, что там тоже не так все просто (разве что кроме режима насыщения). ТС задает вполне разумные вопросы. Увы, в большинстве своем ответы на эти вопросы... Как бы помягче сказать... Не по существу.

[SVD-d]

(Оффтоп)

В итоге всё упрётся в обсуждение движения электрона в поле этого самого электрона...

[Alex-Yu]

SVD-d в сообщении #1384645 писал(а):

В итоге всё упрётся в обсуждение движения электрона в поле этого самого электрона...

А вот глупостей писать не надо. Даже под тегом оффтоп.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1384644 писал(а):

Но и классическая модель кое-что объяснить может. В этом смысле она тоже верна. А в этой классической модели движение электрона и описывается записанным уравнением. Только не надо путать поле $E$, что в этом уравнении, с макроскопическим полем, что в законе Ома.

Может. И я даже написал, как из нее получить закон Ома. Однако, в том виде, в каком ее написал уважаемый cloud_bear из нее ничего толком не получить, поскольку $E$ это функционал от координат всех частиц в системе, включая сам электрон. Для вакуумного диода можно написать чисто одночастичное уравнение в приближении среднего поля, для проводника этот номер не пройдет, в уравнение надо ручками дописать диссипативный член. А с тем, что вопросы cloud_bear разумные я согласен, иначе не влезал бы.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1384657 писал(а):

Однако, в том виде, в каком ее написал уважаемый cloud_bear из нее ничего толком не получить,

Ну почему же. Нечто модельное можно и получить. Даже вообще можно не учитывать, что поле зависит от движения частиц. Вот просто электрон в случайном электрическом потенциале плюс некое однородное поле ("внешнее"). И вполне получится закон Ома (после усреднения по начальным состояниям электрона). Правда, в таком совсем уж упрощенном случае без электрон-решеточной релаксации.

[cloud_bear]

Спасибо, Alex-Yu, именно это я и хотел спросить.

Alex-Yu в сообщении #1384632 писал(а):

Ну и что? Не вижу в этом ничего удивительного. Нужно только понять, что работа среднего поля и работа микроскопического -- это разные работы. Работа среднего не равна нулю, работа микроскопического нулю равна. Операции вычисления работы и усреднения не перестановочны, результат зависит от порядка операций.

Да, я это понимаю, но меня вот что смущает. Когда мы берем достаточно большой объем и смотрим на него достаточно долго (чтобы было можно усреднить микроскопическую напряженность), то через него пройдем множество траекторий электронов, и в этом объеме для всех них $\int Edx$ обратиться в ноль. (Если пренебречь нагревом электронного газа.) И это сильно ограничивает возможные поля. Если бы можно было бы сказать, что для любой траектории будет ноль, то тогда вообще бы оказалось, что $E=0$. А если усреднить и посчитать $1/(Vt)\int E dV dt$, то получится $U/L$. Удивительно, как так получается, но, наверное, придется просто принять это как факт.

Еще один момент. Немного ранее amon записывал выражение для связи плотности тока и (усредненной) напряженности поля. Я правильно понимаю, что это феноменологический факт, не выводимый теоретически?

-- 28.03.2019, 23:18 --

amon в сообщении #1384641 писал(а):

cloud_bear в сообщении #1384627 писал(а):

То есть, для электрона нельзя записать уравнение $ma=eE+e[vxB]$? Этого я совсем не понимаю...

Если есть только электроны и внешнее поле, то получится не проводник, а двухэлектродная вакуумная лампа - вакуумный диод. Для него закон Ома не выполняется. Металл отличается тем, что кроме электронов в нем есть еще куча других вещей - узлы атомной решетки, случайные примеси, тепловые колебания атомов, просто колебания атомов и прочее, и прочее.

Если я правильно понимаю, то все, что Вы перечисляете это методы решить сложнейшую задачу, привнося в нее какие-то феноменологические моменты. , наличия решетки, температуры и пр... В идеале, надо начинать только с зарядов и полей и уже из них выводить все остальное. Хотя это утопия, конечно, пока не сделали квантовый компьютер...

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1384660 писал(а):

Нечто модельное можно и получить. ... И вполне получится закон Ома

Будьте добры, покажите.

[amon]

Munin в сообщении #1384670 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #1384660 писал(а):

Нечто модельное можно и получить. ... И вполне получится закон Ома

Будьте добры, покажите.

Это правда. Получится, если считать рассеяние на случайном потенциале изотропным (упругое оно по определению потенциала). Только как это без уравнения Больцмана сделать я не знаю.

[Alex-Yu]

cloud_bear в сообщении #1384664 писал(а):

то через него пройдем множество траекторий электронов, и в этом объеме для всех них $\int Edx$ обратиться в ноль.

Так. Стоп. И меня запутали. Откуда взялся тезис, что работа, совершаемая полем над электроном равна нулю??? Я, было, согласился, но это моя оплошность. Из того, что средняя, дрейфовая скорость не растет? А какое она, эта дрейфовая скорость, вообще имеет отношение к работе поля??? Вообще никакого! К работе поля имеет отношение, и самое прямое, среднеквадратичная скорость! А это совсем не то же самое!

Мы же вроде как ранее даже договорились, что в совсем упрощенной модели, когда нет электрон-решеточной релаксации (и вообще никакой релаксации) среднеквадратичная скорость растет. Электрон нагревается. Но это СОВСЕМ НЕ ОЗНАЧАЕТ, что дрейфовая скорость, растет. В общем писать надо аккуратнее: где вектор, а где квадрат вектора. Средний вектор скорости может вообще быть равен нулю, а при этом его средний квадрат совсем не ноль. Работа поля меняет средний квадрат, а средний вектор (дрейфовая скорость) тут просто ни при чем.


-- Пт мар 29, 2019 03:42:17 --

amon в сообщении #1384673 писал(а):

Только как это без уравнения Больцмана сделать я не знаю.

А не надо без уравнения Больцмана! Но речь была не о вычислении, а о чисто качественной картине.

[wrest]

cloud_bear в сообщении #1384664 писал(а):

Еще один момент. Немного ранее amon записывал выражение для связи плотности тока и (усредненной) напряженности поля. Я правильно понимаю, что это феноменологический факт, не выводимый теоретически?

Парселл пишет так.

Цитата:

Уравнение (12) описывает наблюдаемое поведение самых обычных веществ в определенном диапазоне условий. Вывести его из фунда­ментальных законов электрического поля мы не можем. Чтобы по­нять значение этого уравнения, нам следует разобраться в процессах, которые происходят в каком-нибудь веществе, находящемся в элек­трическом поле.

Упоминаемое уравнение (12) это закон Ома в записи $\vec J=\sigma \vec E$

-- 28.03.2019, 23:48 --

amon в сообщении #1384673 писал(а):

Получится, если считать рассеяние на случайном потенциале изотропным

Ну да, это ж и есть вязкое трение. Если напряжение с концов провода снять, ток очень быстро прекратится...
Парселл в объяснениях тоже упирает именно на изотропность рассеяния.

-- 29.03.2019, 00:03 --

Alex-Yu в сообщении #1384676 писал(а):

Работа поля меняет средний квадрат, а средний вектор (дрейфовая скорость) тут просто ни при чем.

Ну дык тут и вопрос: откуда берется изотропность рассеяния если ее не должно там быть исходя из только вакуумного электромагнетизма.

Закон Ома это одно из уравнений (т.н. материальных уравнений, уравнений связи) Максвелла, то есть закон Ома просто уже есть как одно из уравнений, и он не выводится из только лишь вакуумных (фундаментальных) уравнений Максвелла. Так что без Больцмана тут никак, amon вам правду говорит.

[Alex-Yu]

cloud_bear в сообщении #1384664 писал(а):

то через него пройдем множество траекторий электронов, и в этом объеме для всех них $\int Edx$ обратиться в ноль.

Впрочем, при наличии релаксации в равновесной ситуации это так (только векторы в интеграле писать надо). Но релаксация возникает из-за того, что поле зависит от движения электрона. Ясно же, что когда ион, скажем, притягивает (через поле) электрон, тогда и электрон притягивает ион. Ион смещается, созданное им поле меняется. Поэтому поле, которое "видит" электрон зависит от движения электрона, для разных траекторий оно разное. Не только разное для разных точек нахождения электрона, вообще разное. А в Вашем рассуждении неявно предполагается (что есть ошибка), что поле для всех траекторий одно и то же.

-- Пт мар 29, 2019 04:07:18 --

wrest в сообщении #1384677 писал(а):

Закон Ома это одно из уравнений (т.н. материальных уравнений, уравнений связи) Максвелла

Ой, какая "каша"... Давайте не путать микроскопические уравнения Максвелла (применительно к которым нет никаких материальных уравнений) и макроскопические уравнения Максвелла. Это разные вещи. В принципе вторые должны выводится из первых (и модели среды). Но это очень сложная задача.

[Munin]

amon в сообщении #1384673 писал(а):

Это правда. Получится

У меня бы были проблемы. Если вся энергия уходит в случайное движение электрона, то надо его ещё разделять с дрейфом. Разогрев слишком большой. В общем, поэтому и попросил показать.

[cloud_bear]

А, точно! Средняя кинетическая энергия электрона растет. Теперь понятно. Спасибо большое, вопрос снимается. Сорри, что запутал - я не специально :)
Спасибо всем за обсуждение.

-- 29.03.2019, 01:21 --

Alex-Yu в сообщении #1384679 писал(а):

cloud_bear в сообщении #1384664 писал(а):

то через него пройдем множество траекторий электронов, и в этом объеме для всех них $\int Edx$ обратиться в ноль.

Впрочем, при наличии релаксации в равновесной ситуации это так (только векторы в интеграле писать надо). Но релаксация возникает из-за того, что поле зависит от движения электрона. Ясно же, что когда ион, скажем, притягивает (через поле) электрон, тогда и электрон притягивает ион. Ион смещается, созданное им поле меняется. Поэтому поле, которое "видит" электрон зависит от движения электрона, для разных траекторий оно разное. Не только разное для разных точек нахождения электрона, вообще разное. А в Вашем рассуждении неявно предполагается (что есть ошибка), что поле для всех траекторий одно и то же.

Я запутался, вроде бы Вы меня убедили, что работа поля вдоль траектории, усредненная по всем электронам не ноль - электронный газ же греется. Или нет?

И что значит "разное поле"? Поле как-то зависит от движения всех зарядов, в итоге будет функция $\vec E(\vec x,t)$ общая для всех зарядов. Или дело в том, что при подсчете сил поле самого заряда считать не надо?

[amon]

cloud_bear в сообщении #1384664 писал(а):

Если я правильно понимаю, то все, что Вы перечисляете это методы решить сложнейшую задачу

То, что я перечислил показывает, что попытка решить эту задачу из первых принципов дело безумно сложное, но сама задача довольно простая. Первое, что надо сообразить, это что закон Ома - вещь макроскопическая и приближенная. Поэтому вместо микроскопических законов надо пользоваться усредненными - макроскопическими, - ведь ни кто не считает кривошипно-шатунный механизм с помощью квантовой хромодинамики. Тогда сложную систему надо разделить на электроны и все остальное, и посмотреть, как это самое "все остальное" действует на среднестатистический электрон. Простая гидродинамическая аналогия показывает, что на языке уравнений Ньютона должна возникнуть сила трения, пропорциональная скорости. Сами уравнения Ньютона известным способом получаются из уравнений КЭД в некотором приближении, так что как проделать этот шаг давно известно. Теперь осталось выяснить откуда берется эта самая сила трения. В этом месте годится школьное рассуждение - что-то обо что-то стукается, теряя при каждом "ударе" часть скорости в направлении поля. Число таких ударов пропорционально скорости, значит потеря скорости (отрицательное ускорение) это та самая тормозящая сила, которую мы и искали.

Если слово "удар" не нравится, и хочется чего-то электродинамического, возьмите случайный электростатический потенциал, как предлагает уважаемый Alex-Yu. Тут расчет будет посложнее. Электрон, изначально двигавшийся вдоль поля в таком потенциале "отвернет в сторону", уменьшив направленное перемещение (ток), но вместо него может прибежать другой, до этого бежавший в другом направлении. Если все это аккуратно учесть, то ответ (эффективно) получится тот же самый - для направленного движения электронов возникнет эффективная тормозящая сила,пропорциональная скорости электрона. Правда эта сила его не тормозит, а меняет направление его скорости так, что движение из упорядоченного становится неупорядоченным.

cloud_bear в сообщении #1384664 писал(а):

Немного ранее amon записывал выражение для связи плотности тока и (усредненной) напряженности поля. Я правильно понимаю, что это феноменологический факт, не выводимый теоретически?

Выводимый в качестве приближенного для слабых полей. Величина проводимости также считабельна, но уже в микроскопических квантовых науках.

-- 29.03.2019, 00:40 --

Munin в сообщении #1384680 писал(а):

Если вся энергия уходит в случайное движение электрона, то надо его ещё разделять с дрейфом. Разогрев слишком большой. В общем, поэтому и попросил показать.

А тут такая забавная штука. Закон Ома выводится в приближении упругих столкновений (приближении времени релаксации), а закон Джоуля-Ленца нет. Для него надо учитывать неупругость. Где-то про это тема была.