Оценить значение выражения

[SashaMercury]

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста, как оценить значение выражения $\frac{M_{p_1}}{M_{p_2}}$, где $M_p = \left(\frac 1n \sum\limits_{i=1}^{n} x_i^p \right)^{1/p}$

[Lia]

Что есть "оценить" в данном контексте? оценка сверху, снизу, еще какая-то оценка; каковы значения параметров; какие у Вас соображения по теме, сообщите, пожалуйста.

[SashaMercury]

Мне известно среднее значение и дисперсия аргументов M. Не знаю как получить верхнюю и нижнюю оценку отношения выше. P1 и P2 действительные числа

[mihiv]

Правильно ли я понял: вам известны $\bar x=\frac 1n\sum \limits _{i=1}^nx_i, D(x)=\frac 1n\sum \limits _{i=1}^n(x_i-\bar x)^2$?
По ссылке приведено, например, такое неравенство:если $p<q$, то $M_p<M_q$, так что по крайней мере одна оценка есть.

[SashaMercury]

Спасибо, но это мне естествнно известно. Интересуют более строгие оценки

[alcoholist]

SashaMercury в сообщении #1383164 писал(а):

Интересуют более строгие оценки

SashaMercury в сообщении #1383164 писал(а):

Интересуют более строгие оценки

С одной стороны для вектора $x=(1,1,\cdots,1)$ с равными координатами имеем $M_p(x)=M_q(x)$. C другой $\lim_{q\to p}M_q=M_p$. Что имеется ввиду под "более строгими" оценками?

[SashaMercury]

Имея среднее значения аргументов($x_i$ - значения случайной величины) и их среднее квадратическое отклонение, я хочу для конкретных $p_1$ и $p_2$ понимать насколько сильно может изменится значение $M_{p_1}(x_i)$ относительно $M_{p_2}(x_i)$. Под более строгими оценками я понимаю более сильные неравенства.
Лучше пожалуй привести пример. Пусть $m(x_i)= 17$, $d(x_i)= 1$, $p_1 = 8$, $p_2 = 10$. Вопрос: как сильно $M_{8}(x_i)$ может отличаться от $M_{10}(x_i)$. Наверное здесь есть смысл говорить о каких-то вероятностных оценках

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- см. выше.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

В ваших обозначениях $m(x_i)=M_1(x_i)=17, d(x_i)=M_2^2(x_i)-M_1^2(x_i)=1.$ Можно написать, например, такую оценку (не очень хорошую):

$$ 1< \dfrac {M_{10}(x_i)}{M_{8}(x_i)}<\dfrac {(\frac 1n(\sum \limits _{i=1}^nx_i)^{10})^{\frac 1{10}}}{M_2(x_i)}=n^{1-\frac 1{10}}\dfrac {M_1(x_i)}{M_2(x_i)}< n^{1-\frac 1{10}}$$

[LMA]

Набор чисел $x_{1,2...n-1} = m - \sqrt{d/(n-1)}$, $x_n=m + \sqrt{d(n-1)}$ максимизирует $M_{\infty}$ (будем считать, что дисперсия достаточно мала).
Не даст ли этот набор чисел наибольшую разность (или отношение) между $M_{p_1}$ и $M_{p_2}$ при $p_1>1$, $p_2>1$?

[mihiv]

Более точно можно оценить так: пусть $q<p<2q$

$$n^{\frac 1p}M_p=(\sum \limits _{i=1}^nx_i^p)^{\frac 1p}<[(\sum \limits _{i=1}^nx_i^{\frac p2})^2]^{\frac 1p}=(\sum \limits _{i=1}^nx_i^{\frac p2})^{\frac 2p}=n^{\frac 2p}(\frac 1n\sum \limits _{i=1}^nx_i^{\frac p2})^{\frac 2p}=n^{\frac 2p}M_{\frac p2}$$

Отсюда получим:

$$\dfrac {M_p}{M_q}<n^{\frac 1p}\dfrac {M_{\frac p2}}{M_q}<n^{\frac 1p}$$

$p,q$-целые, положительные.