Эллиптические, гиперболические, параболические УЧП

[Slav-27]

Red_Herring в сообщении #1158864 писал(а):

С эллиптическими и гиперболическими (по крайней мере строго гиперболическими) все ясно. С параболическими дело обстоит хуже: безусловно есть классические монографии, очень стандартное определение: выделим "главную часть"...

Вопрос 1. Насколько стандартны определения, которые я выписал ниже, и если нет, то что исправить? Я их не сам придумал, а прочитал в разных странных и не очень местах.

Вопрос 2. А есть ли вообще смысл вводить настолько общие определения? Следуют ли из них какие-то свойства? Для эллиптических (по крайней мере равномерно) -- да. А для гиперболических? Верно ли, что задача Коши с начальными данными на нехарактеристической гиперповерхности имеет единственное решение хотя бы где-то? А хорошее решение? Где про это написано? Про эллиптические выше 2-го порядка в принципе тоже интересно. Про линейные равномерно эллиптические 2-го порядка много хорошего написано в книжке Evans Partial differential equations (которою и ограничивается моё знакомство с уравнениями с непостоянными коэффициентами).

-----------

Пусть $U\subset \mathbb R^d$ -- область, $P$ -- линейный дифференциальный оператор на $U$, конкретно, $P(x,\partial)=\sum\limits_{|\alpha|\leqslant n}a_\alpha(x)\dfrac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha}$, где $x=(x_1,...,x_d)$ -- координаты на $U$, а $a_\alpha$ -- вещественные функции на $U$ (скажем $C^\infty$).

Рассмотрим "главную часть" $\sum\limits_{|\alpha|= n} a_\alpha(x) \dfrac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x^\alpha} =\sum\limits_{|\alpha|= n} i^n a_\alpha(x) D^\alpha= \sum\limits_{|\alpha|= n} b_\alpha(x) D^\alpha$ (здесь $D^j=-i\dfrac{\partial}{\partial x_j}$). Подставим туда вместо $D$ вектор $\xi\in\mathbb R^d$ и обзовём это главным символом $\sigma_x(\xi)=\sum\limits_{|\alpha|= n} b_\alpha(x) \xi^\alpha$ оператора $P$ точке $x\in U$. (Можно считать $\xi$ ковектором и проверить, что такая формула задаёт $n$-линейную симметричную форму на $T^*_xU$, не зависящую от выбора координат $(x_1,...,x_d)$.)


Гиперболичность

Выберем ненулевой вектор $N\in\mathbb R^d$ (на самом деле $\in T^*_xU$).

Оператор $P$:

• гиперболичен в точке $x\in U$ в направлении $N$, если ограничение его главного символа на любую прямую, параллельную $N$, имеет ровно $n$ вещественных корней (не обязательно попарно различных);
  
  
  иными словами: для любого $v\in \mathbb R^d$ многочлен $\sigma_x(\lambda N+v)$ от переменной $\lambda$ имеет степень $n$ и все его $n$ корней вещественны;
  
  
  
• строго гиперболичен в точке $x\in U$ в направлении $N$, если ограничение его главного символа на любую прямую, параллельную $N$ и не проходящую через $0$, имеет ровно $n$ различных вещественных корней (отсюда следует, что ограничение на прямую, натянутую на $N$, имеет корень $0$ кратности $n$);
  
  
  иными словами: для любого $v\in \mathbb R^d$, не пропорционального $N$, многочлен $\sigma_x(\lambda N+v)$ от переменной $\lambda$ имеет степень $n$ и все $n$ его корней вещественны и различны. (Отсюда следует и $\sigma_x(\lambda N)=\lambda^n\sigma_x(N)\not\equiv 0$.)

Эллиптичность

Оператор $P$:

• эллиптичен в точке $x\in U$, если для любого $w\in \mathbb R^d, w\ne 0$ число $\sigma_x(w)\ne 0$;
  
  
  иными словами: у ограничения его главного символа на любую прямую, не проходящую через $0$, все корни невещественны (отсюда следует, что у ограничения на любую прямую, проходящую через $0$ -- корень $0$ кратности $n$);
  
  
• равномерно эллиптичен в $U$, если $n$ чётно и есть число $C>0$, такое что для всех $x\in U$ и $w\in \mathbb R^d$ имеем $\sigma_x(w)\geqslant C|w|^n$.

Параболичность

Зафиксируем натуральное число $p$. Выделим "квазиоднородную главную часть" $L_x(\xi)=\sum\limits_{p\alpha_1+|\alpha'|=m}b_\alpha(x)\xi^\alpha$ (где $m$ -- это степень многочлена $\lambda\mapsto L_x(\lambda^p\xi_1,\lambda\xi')$, $\alpha'=(\alpha_2,...,\alpha_d)$, $\xi'=(\xi_2,...,\xi_d)$.

(Эта штука уже зависит не только от ковектора $\xi\in T^*_xU$, но и от разложения $T^*_xU$ в прямую сумму $\mathbb RN\oplus H$, где в качестве $N$ выше выступает вектор $(1,0,...,0)$ (то есть $dx_1$), а в качестве $H$ -- гиперплоскость, определяемая уравнением $\xi_1=0$.)

Будем считать, что $m$ кратно $p$.

Оператор $P$:

• $p$-параболичен в точке $x\in U$, если у ограничения $L_x$ на любую прямую в $\mathbb R^d$, параллельную $(1,0,...,0)$ и не проходящую через $0$, все корни имеют положительную мнимую часть (отсюда следует, что ограничение на прямую, натянутую на $(1,0,...,0)$, имеет корень $0$ кратности $\frac mp$);
  
  
  иными словами: при любом $(\lambda,v)\in \mathbb C \times \mathbb R^{d-1}, v\ne 0$, $\operatorname{Im}\lambda \leqslant 0$ число $L_x(\lambda, v)\ne 0$ (отсюда следует и $L_x(\lambda,0)=\lambda^{\frac mp}L_x(1,0)\not\equiv 0$);
  
  
• равномерно $p$-параболичен в $U$, если $p$ чётно и есть положительное число $C$, такое что для любых $x\in U$, $v\in\mathbb R^{d-1}$ у всех корней многочлена $L_x(\lambda,v)$ от переменной $\lambda$ мнимая часть $\geqslant C|v|^p$.

[Red_Herring]

Slav-27 в сообщении #1382250 писал(а):

Я их не сам придумал, а прочитал в разных странных и не очень местах.

Разумеется, только Вы не все места облазили.

Вы ставите вопрос "Следуют ли из них какие-то свойства??" Ответ "конечно". Но правильный вопрос "эквивалентны ли они каким-то свойствам?" И тут с эллиптическими все ясно.
\begin{equation} \|u\|_{H^m}\le C\Bigl(\|Pu\|+\|u\|\Bigr).\tag{1} \end{equation}

С гиперболическими чуточку хуже. Если для уравнений строгая гиперболичность означает в точности нехарактеристичность плюс оценку
\begin{equation} \|u\|_{H^{m-1}, t=T} \le C\Bigl(\|u\|_{H^{m-1}, t=0} + \int_0^T \|Pu\|_{t}\,dt\Bigr) ,\qquad T>0,\tag{2} \end{equation}
то уже для систем строгая гиперболичность достаточна, но не необходима, т.к. есть например симметрические гиперболические системы первого порядка. Из просто гиперболичности не следует хорошая поставленность задачи Коши в $C^\infty$, но гиперболичность эквивалентна хорошей поставленности задачи Коши в каком-нибудь классе Жевре (если коэффициенты принадлежат ему же). Для уравнений с постоянными коэффициентами хорошая поставленность задачи Коши в $C^\infty$ эквивалентна гиперболичности по Гордингу (и аналогично может быть описана хорошая поставленность задачи Коши в данном классе Жевре).

Для полного символа (вкл. мл. члены) корни $P(\tau, \xi)=0$ таковы что $|\operatorname{Im}(\tau_j)|\le C$.
См. монографию Хермандера 60х

[Red_Herring]

А вот с параболическими... разумеется, если потребовать разрешимость задачи Коши плюс аналог (1) в квазиоднородном пространстве Соболева, так действительно. Но вот если отказаться от квазиоднородности... В упомянутой выше монографии Хермандера для операторов с постоянными коэффициентами определение параболичности дано так: гипоэллиптичность плюс разрешимость задачи Коши, и условие:

Для полного символа (вкл. мл. члены) корни $P(\tau, \xi)=0$ таковы что $\operatorname{Im}(\tau_j)\to +\infty$ для $|\xi|\to \infty$ (что эквивалентно $\operatorname{Im}(\tau_j) \ge \epsilon |\xi|^\delta - C$ с каким-нибудь $\delta>0$.

При таком определении произведение $t$-параболических будет снова параболическим, а вот при квазиоднородном--только если у них квазиоднородности одинаковые. Не знаю, как у кого, у меня оставляет некоторую неудовлетворенность.

[Slav-27]

Спасибо, очень интересно.

Ладно, шут пока с ними, с параболичскими. А можно ли где-нибудь в популярном изложении почитать вот про такое? (Для начала хотя бы не "эквивалентно", а "следует, что всё хорошо" -- разобраться бы хоть с этим...)

Red_Herring в сообщении #1382267 писал(а):

эквивалентны ли они каким-то свойствам?" И тут с эллиптическими все ясно.
\begin{equation*} \|u\|_{H^m}\le C\Bigl(\|Pu\|+\|u\|\Bigr). \end{equation*}

Red_Herring в сообщении #1382267 писал(а):

для уравнений строгая гиперболичность означает в точности нехарактеристичность плюс оценку
\begin{equation*} \|u\|_{H^{m-1}, t=T} \le C\Bigl(\|u\|_{H^{m-1}, t=0} + \int_0^T \|Pu\|_{t}\,dt\Bigr) ,\qquad T>0. \end{equation*}

По-моему, 4-томник Хёрмандера зубодробительноват; и содержатся ли там эти утверждения, мне непонятно.

[Red_Herring]

Slav-27 в сообщении #1382389 писал(а):

Ладно, шут пока с ними, с параболичскими. А можно ли где-нибудь в популярном изложении почитать вот про такое? (Для начала хотя бы не "эквивалентно", а "следует, что всё хорошо" -- разобраться бы хоть с этим...)...

По-моему, 4-томник Хёрмандера зубодробительноват; и содержатся ли там эти утверждения, мне непонятно.

А что такое "все" которое д.б. "хорошо"? Какая цель?
Эллиптические уравнения.
Оценка $L^2$. Или параметрикс в виде псевдодифференциального оператора. Гипоэллиптичность, гипоэллиптичность в классах Жевре, аналитическая. Эллиптические краевые задачи.

То же, но с $L^p$ оценками.--вот этого уже у Хермандера не сыщешь (почти уверен)

Отдельно: спектральные асимптотики, в т.ч. для краевых задач.

Отдельно: операторы с разрывными коэффициентами в дивергентной форме.--вот этого уже у Хермандера не сыщешь (уверен).

Про гиперболические--в другой раз.

[Slav-27]

Red_Herring в сообщении #1382398 писал(а):

А что такое "все" которое д.б. "хорошо"? Какая цель?

Про эллиптические. Что если оператор эллиптический “в алгебраическом смысле” (как у меня в 1-м посте), то краевая задача хорошо поставлена, что решение $C^\infty$, если…, что есть оценка, которую вы выписали, что есть принцип максимума.

Про гиперболические. Что если оператор строго гиперболический “в алгебраическом смысле” (как у меня в 1-м посте), то задача Коши с начальными данными на нехарактеристической гиперповерхности хорошо поставлена, что решение $C^\infty$, если…, что есть оценка, которую вы написали, что изменение начального условия распространяется по решению с конечною скоростью.

[Red_Herring]

Slav-27 в сообщении #1382474 писал(а):

Про эллиптические. Что если оператор эллиптический “в алгебраическом смысле” (как у меня в 1-м посте), то краевая задача хорошо поставлена, что решение $C^\infty$, если…, что есть оценка, которую вы выписали, что есть принцип максимума.

Нет, у Вас все смешалось, кони-люди

(а) принцип максимума будет только для некоторых эллиптических операторов второго порядка

(б) не всякая краевая задача хорошо поставлена, но она тоже должна быть эллиптической (по отношению к оператору)

[Slav-27]

Red_Herring в сообщении #1382480 писал(а):

Нет, у Вас все смешалось, кони-люди

Действительно, в размерности 1 $u''=0$ -- это линейные функции, и максимум по отрезку у них на границе; а вот $u^{(4)}=0$ -- это многочлены 3-й степени, и у них не обязательно так. Поэтому надеяться на какой-то аналог принципа максимума для уравнений высшего порядка было глупо.

Значит, с краевыми задачами не всё так просто. Пусть края нету; про уравнение $Lu=f$ на компактном многообразии без края известно: (грубо говоря) решение существует $\Leftrightarrow$ правая часть $L^2$-ортогональна некоторому конечномерному подпространству, и решение $C^\infty$, если правая часть и коэффициенты оператора $C^\infty$. И из этого следует много полезного, не только для теории УЧП. Всё это хорошо.

Так про эллиптические операторы стало примерно понятно, куда думать -- в том числе благодаря списку ключевых слов "хорошее про эллиптические операторы", который вы любезно составили.

С гиперболическими пока непонятно; пишете, что строгая гиперболичность символа (для одного уравнения) равносильна хорошей поставленности задачи Коши вкупе с выписанной вами оценкой (в частности из строгой гиперболичности это следует); что ещё хорошего бывает и что про это читать? Возможно, Хёрмандера гл. 23 "Строго гиперболическая задача Коши".

[Red_Herring]

Slav-27 в сообщении #1384412 писал(а):

Возможно, Хёрмандера гл. 23 "Строго гиперболическая задача Коши".

Категорически нет. Получите устойчивую головную боль и малое понимание
Мы говорим о реально больших темах, в каждой из которых есть разные методы и разные мотивы. Например в строго гиперболической задаче Коши:

1. Метод энергетических оценок для до-ва существования и единственности (а) через разделяющий оператор (б) с помощью псевдодифференциальных операторов; именно последний разобран у ЛХ23

2. Метод параметрикса как Интегрального Оператора Фурье

3. Метод энергетических оценок для изучения распространения особенностей

4. $L^p$ с $p\ne 2$

И даже если разные методы используются для достижения одной и той же цели, расширения их различны, и потому стоит учить их все. Но Вы не формулируете своих целей, и советовать трудно

-- 28.03.2019, 06:18 --

Slav-27 в сообщении #1384412 писал(а):

Поэтому надеяться на какой-то аналог принципа максимума для уравнений высшего порядка было глупо.

И даже для ур-ний 2го порядка он не всегда (напр $u''+u=0$)