Канонический вид уравнения параболического типа

[Skyfall]

Здравствуйте!
В курсе уравнений математической физики определялся канонический вид параболического уравнения таким образом:
$\frac{\partial^2u }{\partial \eta ^2}=F\left ( \xi ,\eta ,u,\frac{\partial u }{\partial \xi} ,\frac{\partial u}{\partial \eta}\right )$

Вопрос: если при решении получается константа перед $\frac{\partial^2u }{\partial \eta ^2}$, то надо ли делить уравнение на нее (чтобы перенести в правую часть)? Или это уже каноническая форма?

[svv]

Сбивают с толку слова «при решении».
Сначала Вы выводите уравнение. Если в левой части перед $\frac{\partial^2u }{\partial \eta ^2}$ получится постоянный множитель, перенесите его в правую, чтоб не было никаких вопросов. Фиксируем факт: получено уравнение в канонической форме.
Далее, при решении, Вы можете уравнение выворачивать наизнанку, лишь бы получить решение. «Красоты» на этом этапе, как правило, не бывает.

[Skyfall]

svv
Имелась в виду приведение уравнения к каноническому виду

[svv]

Из левой части множитель надо убрать.

[Skyfall]

svv
Спасибо

[Red_Herring]

Skyfall в сообщении #1158229 писал(а):

В курсе уравнений математической физики определялся канонический вид параболического уравнения таким образом:
$[math]$\frac{\partial^2u }{\partial \eta ^2}=F\left ( \xi ,\eta ,u,\frac{\partial u }{\partial \xi} ,\frac{\partial u}{\partial \eta}\right )$$[/math]

Следует понимать, что это определение плохое поскольку относит к параболическим уравнениям и уравнение диффузии (правильно), и Шредингера (которое обладает резко отличными свойствами. несмотря на внешнюю похожесть). Кроме того в параболических уравнениях важно направление "времени". В настоящее время уравнения классифицируются не по принципу "как они выглядят", а "какими свойствами обладают", причем большинство уравнений, написанных "от балды", ни к какому разумному классу не принадлежат

[Munin]

А Шрёдингера по правильной терминологии относится к какому типу?

[Утундрий]

К волновому...

[Munin]

Утундрий
Извините, вопрос задан не вам.

[Утундрий]

Munin
Не важно, ответ тоже дан не вам.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1158448 писал(а):

А Шрёдингера по правильной терминологии относится к какому типу?

Заведомо ни к эллиптическому, ни гиперболическому и ни к параболическому. Почему не к гиперболическому (в неопределенно широком смысле): нет конечной скорости распространения. Почему не к параболическому (опять-таки в неопределенно широком смысле)? Ну потому что нет свойства гипоэллиптичности: $Pu \in C^\infty(\Omega)\implies u\inC^\infty(\Omega)$

Утундрий в сообщении #1158451 писал(а):

К волновому...

С этим спорить сложнее, но я нигде не видел определения этого типа

Замечу, что в квазиклассическом приближении Шредингер демонстрирует сходство с волновым уравнением. Или например $u_{tt}+\Delta^2u=0$? Оно распадается на два Шредингера $(i\partial _t+\Delta)(-i\partial_t +\Delta )u=0$, а используется при описании колебаний пластин (в двумерном) или балок (в одномерном варианте).

А есть куча "странных" уравнений: ультрагиперболические, их смеси с параболическими, помеси теплопроводности и Шредингера (вроде как не используемые в описании никакой физики, и не вызывающие значительного математического интереса), а также уравнения переменного типа, например Трикоми, вполне "физически" разумные, но явно недостаточно изученные (и не из-за недостатка попыток)

[Munin]

То есть, уравнение Шрёдингера на сегодня не "обросло" классом сходных с ним уравнений, и поэтому если и изучается, то индивидуально?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1158596 писал(а):

То есть, уравнение Шрёдингера на сегодня не "обросло" классом сходных с ним уравнений, и поэтому если и изучается, то индивидуально?

О каком уравнении идет речь? Линейном или нелинейном? Какие вопросы ставятся? На сегодня есть три классических класса, а также куча временных классов для целей данного исследования (или проекта).

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1158254 писал(а):

В настоящее время уравнения классифицируются не по принципу "как они выглядят", а "какими свойствами обладают", причем большинство уравнений, написанных "от балды", ни к какому разумному классу не принадлежат

Есть ли учебник/монография, где это - и классы и то, как они выделены - подробно и систематически изложено? (Идеально было бы на русском языке, но согласен на английский).

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1158858 писал(а):

Есть ли учебник/монография, где это - и классы и то, как они выделены - подробно и систематически изложено? (Идеально было бы на русском языке, но согласен на английский).

С эллиптическими и гиперболическими (по крайней мере строго гиперболическими) все ясно. С параболическими дело обстоит хуже: безусловно есть классические монографии, очень стандартное определение: выделим "главную часть" (квазиоднородную), причем будем говорить о линейных или линеаризациях нелинейных. Т.е. главная часть будет

$$L(x,D)=\sum_{\alpha: p \alpha _0+|\alpha'|=m} a_\alpha (x)D^\alpha,$$

$D=-i\partial _x$, $t=x_0$. И условие

$$L(x,\xi)\ne 0 \qquad \forall :\xi\in \mathbb{C}\times \mathbb{R}^{n},\ \xi\ne 0, \operatorname{Im}\xi_0\le 0.$$

Для матричных операторов $\det L(x,\xi)\ne 0$.

Казалось бы вопрос исчерпан. Увы, нет: в старой книге Хермандера (60х) изучаются более общие классы, без квазиоднородности--но только с постоянными коэффициентами, или, в крайнем случае постоянной силы