непрерывные случайные вевличины

[Anthony]

Доброго времени суток,
что-то я опять не допонял....

Годовой облагаемый налогом доход наудачу выбранного частного предпринимателя города N является случайным с плотностью распределения

P(x) = C$x^-8$ если $x>=15$
p(x) = 0 в противном случае.

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).
2. Найти функцию распределения и построить её график.
3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М(x) , дисперсию D(x) и среднее квадратическое (стандартное) отклонение б(х).
4. Во сколько раз число частных предпринимателей города N с доходом, облагаемым налогом меньше среднего, превышает число частных предпринимателей с доходом, облагаемым налогом больше среднего?

1. что бы найти С нужно воспользоваться свойством плотности распределения: возникает вопрос о пределах интегрирования, из условия получаеться от 15 до + бесконечности. Приняв F(бесконечности) за 1 получил С = -7.
2. опять же таки вопрос о пределах интегрирования, получаеться от - бесконечности до 15 и от 15 до + бесконечности. тогда функция распределения:
F(x) = 0 при x<15 и F(x) = t^-7 при х>=15. отсюда возникает проблема в 3 вопросе. изходя из такого распределения получаеться что математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклолнение равны бесконечности.

объясните плиз, где собака порылась?

[AD]

Anthony писал(а):

объясните плиз, где собака порылась?

Ну, я так понимаю, вы оба раза интеграл неправильно посчитали.

Anthony писал(а):

1. что бы найти С нужно воспользоваться свойством плотности распределения: возникает вопрос о пределах интегрирования, из условия получаеться от 15 до + бесконечности. Приняв F(бесконечности) за 1 получил С = -7.

Во-первых, пределы интегрирования надо всегда брать от $-\infty$ до $\infty$. Просто в данном случае у вас плотность равна нулю на $(-\infty,-15)$, и интеграл по этой полуоси будет равен нулю. Ну а дальше вы как-то интегрируете неотрицательную функцию и получаете отрицательное число. Типа заявляете, что у фигуры отрицательная площадь.

Anthony писал(а):

2. опять же таки вопрос о пределах интегрирования, получаеться от - бесконечности до 15 и от 15 до + бесконечности. тогда функция распределения:
F(x) = 0 при x<15 и F(x) = t^-7 при х>=15. отсюда возникает проблема в 3 вопросе.

А тут вы не только неправильно посчитали неопределенный интеграл от степенной функции, но еще и забыли про "плюс константу". В результате у вас получилась убывающая функция распределения.

[Anthony]

Цитата:

Ну а дальше вы как-то интегрируете неотрицательную функцию и получаете отрицательное число.

хорошо... можно немного по подробней?
разве $\int{cx^{-8}}dx\not =\frac{c}{-7}x^{-7}$

[ИСН]

Теперь Вы всего лишь забыли про "плюс константу".

[AD]

Ну да, только еще плюс константа. А дальше у вас почему-то

Anthony писал(а):

F(x) = t^-7

А если бы вы все правильно посчитали, то у вас C получилось бы положительным, и это равносильно положительности площади фигуры.

[Anthony]

все равно не вьехал.. :о))) уж извините за тупость.

1. зачем при вычислении определенного интеграла прибавлять константу. мне надо найти параметр "С". что бы его найти вычисляю определенный интеграл функции $cx^{-8}$ на интервале от 15 до $\propto$ затем приравниваю к 1. какую надо прибавить константу?

Цитата:

А если бы вы все правильно посчитали, то у вас C получилось бы положительным

правильно это как? уж не судите строго.[/math]

[AD]

В первом пункте прибавлять константу, конечно же, не надо. Только выражение $\int{cx^{-8}}dx=\frac{c}{-7}x^{-7}$ не есть определенный интеграл, в него еще надо правильно пределы подставить. А во втором пункте надо константу писать, функция распределения будет именно неопределенным интегралом. И потом эту константу еще и находить надо.

Правильно - это когда всё правильно. А неправильно - это когда вы где-то ошиблись.

[Anthony]

Цитата:

В первом пункте прибавлять константу, конечно же, не надо

то есть С = -7. Правильно?

если да, то 2 пункт.

использую формулу F(x)=$\int_{-\propto}^{x} f(t)dt$
если x<15 то F(x)=0
если $X \ge 15$ то F(x)=$\int_{-\propto}^{15} 0dt$+$\int_{15}^{x} -7t^{-8}dt=x^{-7}$
или уже не правильно?

[GAA]

Anthony писал(а):

то есть С = -7. Правильно?

Нет!

AD писал(а):

А во втором пункте надо константу писать, функция распределения будет именно неопределенным интегралом. И потом эту константу еще и находить надо.

Неточно! Функция распределения будет интегралом с переменным верхним пределом.
Как вы, Anthony, делаете так и делайте, но без ошибок в двойной подстановке.

[Anthony]

где ошибка? то есть в первом пункте я не правильно расставил пределы?
в методичке написано что: пределы интег-
рирования соответствуют спектру случайной величины или ее возможным значениям.... в данном примере $x \ge 15$ как можно еще расставить пределы?[/quote]

[PAV]

Посчитайте интеграл от плотности $p(x)$ по всей числовой оси. Он должен равняться 1, это и есть условие на $C$.

[GAA]

Пределы расставили верно: $\int\limits_{15}^{+\infty}C/t^8 dt$, и первообразную нашли верно, но подставили пределы интегрирования - с ошибкой. Пишите подробно, тогда можно будет указать ошибку.

[Anthony]

$\int \limits_{15} ^ {+\propto} cx^{-8}dx= \frac{c}{-7} x^{-7} |_{15} ^ {+\propto} = \frac{c}{-7} ( 1 - 15^{-7}) = \frac{c}{-7}$

1 - потомучто $F( \propto) = 1$

[GAA]

Anthony писал(а):

$\int \limits_{15} ^ {+\propto} cx^{-8}dx= \frac{c}{-7} x^{-7} |_{15} ^ {+\propto} = \frac{c}{-7} ( 1 - 15^{-7}) = \frac{c}{-7}$

Неправильно! $1/(+\infty)^7=0$. Исправьте и посмотрите что получится!

[Anthony]

спасибо GAA, огромнейшее...
то есть получаеться что $C=7*15^7
или нет?