Чистая математика

[Damonov]

Общее доказательство теоремы Ферма
Теорема.
Уравнение $a^3 + b^3 = c^3$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a, b, c$.
Доказательство.
Примем для удобства $a < b < c $
Запишем исходное уравнение в виде:
(1) $a^3 + 8(b/2)^3 = 27(c/3)^3$
Рассуждения сводятся к выяснению вопроса о том, какое из трёх действительных положительных чисел $a^3, (b/2)^3$ или $(c/3)^3$ является наименьшим.
Рассмотрим по отдельности каждый из трёх возможных вариантов.
1). Число $a^3$ является наименьшим среди трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$.
2). Число $(b/2)^3$ является наименьшим.
3). Число $(c/3)^3$ является наименьшим.
Случай 1. Убедимся, что число $a^3$ не может быть самым маленьким.
Запишем равенство:
(2) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
(3) $a^3 -3(c/3)^3+8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 0$
Поскольку $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, постольку $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$.
$a^3 + 8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 3(c/3)^3$
(4) $8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 3[(c/3)^3 -a^3/3]$
Прибавляем выражение $[(c/3)^3 -a^3/3]$ к одной только правой части уравнения (4) и приходим к неравенству:
$8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] < 4[(c/3)^3 -a^3/3]$
$8(b/2)^3 -24(c/3)^3 < 4(c/3)^3 -4a^3/3$
$2(b/2)^3 -6(c/3)^3 < (c/3)^3 -a^3/3$
$a^3/3 + 2(b/2)^3 < 9(c/3)^3$
В левой части неравенства присутствует треть куба $a^3$, а в правой треть куба $c^3$.
С учётом знака неравенства, получаем неравенство для $2(b/2)^3$:
$2(b/2)^3 > b^3/3$
$6(b/2)^3 > b^3$
Однако в данной записи должен стоять знак неравенства противоположного смысла, поскольку $b^3 = 8(b/2)^3$
Отсюда ясно, что:
$a^3 + b^3 < c^3$
Вывод 1. Если число $a^3$ является самым маленьким из трёх, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.
Случай 2. Убедимся, что число $(b/2)^3$ не может быть наименьшим.
Запишем уравнение:
(5) $(b/2)^3 + 8(b/2)^3 = 9(b/2)^3$
Вычтем уравнение (5) из уравнения (1):
$a^3 -(b/2)^3 = 9[(c/3)^3 -(b/2)^3] + 18(c/3)^3$
Поскольку число $(b/2)^3$ самое маленькое, обе величины $(c/3)^3 -(b/2)^3$ и $a^3 -(b/2)^3$ положительны. Однако правая часть уравнения составляет более двух третей величины $c^3$, тогда как в левой части только часть малого куба $a^3$, то есть меньше половины суммарной величины $(a^3 + b^3)$.
Вывод 2. Если число $(b/2)^3$ является самым маленьким из трёх, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.
Случай 3. Убедимся, что число $(c/3)^3$ не может быть наименьшим.
Запишем равенство:
(6) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (6)
$a^3 -3(c/3)^3 + 8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 0$
Если $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.
Остаётся единственный вариант: все три числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ одинаковы, но в этом случае большой куб превосходит суммарную величину двух малых кубов ровно в три раза.
Вывод 3. Если числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ является одинаковыми, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.

Теорема доказана.

Или опять нет?

[gris]

Я что-то не заметил, где учитывается натуральность вышеупомянутых чисел

[ozheredov]

gris в сообщении #1380557 писал(а):

не заметил, где учитывается натуральность вышеупомянутых чисел

Он доказал расширенную теорему Ферма, для любых комплексных чисел.

Damonov в сообщении #1380554 писал(а):

Или опять нет

[Soul Friend]

а как же другие случаи, где $\frac{b}{p}$ и $\frac{c}{p}$, $p>3$ - простое число.
И, $xa^3+yb^3=zc^3$ это немного другая задача, нет?

[Damonov]

gris в сообщении #1380557 писал(а):

Я что-то не заметил, где учитывается натуральность вышеупомянутых чисел

Разве натуральные числа не являются действительными числами? Обычный частный случай.
Я давно уже говорил, на нескольких сайтах, что ни чётность, ни нечётность, ни сократимость, ни натуральность чисел не имеет отношения к делу.

[gris]

Это да, но недавно отыскали решение Уравнения Ферма почти в натуральных числах. Это $666^3+2019^3=(\sqrt[3]{8525581155})^3$
Вот Вы пишете: "Разве натуральные числа не являются действительными числами? Обычный частный случай." Если бы было наоборот, то имело бы смысл присмотреться повнимательнее к вашему доказательству. Возможно, оно содержало бы некоторую конструктивную идею хотя бы для частного случая. А так оно заведомо имеет маленькую ошибку. Вот вы пишете, что "чётность не имеет значения". А ведь Теорема давно успешно доказана для случая трёх нечётных чисел!

[ozheredov]

Damonov

То есть вы действительно доказали расширенную теорему Ферма, я не ошибся? Ваше утверждение касается не только натуральных чисел?

[Damonov]

ozheredov в сообщении #1380565 писал(а):

Damonov

То есть вы действительно доказали расширенную теорему Ферма, я не ошибся? Ваше утверждение касается не только натуральных чисел?

Мне так каэцца. Найдёте ошибку, тогда и помозгуем.

-- 08.03.2019, 13:48 --

gris в сообщении #1380564 писал(а):

Это да, но недавно отыскали решение Уравнения Ферма почти в натуральных числах. Это $666^3+2019^3=(\sqrt[3]{8525581155})^3$

Отнимите от куба 27 один-единственный кубик, и это будет уже не куб. Это и будет тем, что вы называете почти куб.

[lel0lel]

ozheredov в сообщении #1380560 писал(а):

Он доказал расширенную теорему Ферма, для любых комплексных чисел.

Про комплексные вы пожалуй погорячились, в доказательстве используется сравнение чисел. Так что только для действительных, что не так уж и плохо)

[mihaild]

Damonov в сообщении #1380554 писал(а):

Если $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.

Вот этот переход распишите подробнее.

(Оффтоп)

Damonov в сообщении #1380566 писал(а):

Это и будет тем, что вы называете почти куб.

Это вы говорите о почти кубах натуральных чисел. gris же говорит о кубах почти натуральных чисел. Это разные понятия, связь между которыми до сих пор не полностью изучена.
(открыт даже более простой вопрос: существуют ли натуральные почти натуральные числа?)

[Damonov]

mihaild в сообщении #1380568 писал(а):

Damonov в сообщении #1380554 писал(а):

Если $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.

Вот этот переход распишите подробнее.

(Оффтоп)

Damonov в сообщении #1380566 писал(а):

Это и будет тем, что вы называете почти куб.

Это вы говорите о почти кубах натуральных чисел. gris же говорит о кубах почти натуральных чисел. Это разные понятия, связь между которыми до сих пор не полностью изучена.
(открыт даже более простой вопрос: существуют ли натуральные почти натуральные числа?)

Это вы про то уравнение, которое равно нулю? Так ведь одно число должно быть положительным, а второе отрицательным.

[mihaild]

Не знаю, что значит "уравнение равно нулю".
Я про то, как вы получили, что $\left(\frac{c}{3}\right)^3$ не является наименьшим.

[venco]

Damonov в сообщении #1380554 писал(а):

$2(b/2)^3 -6(c/3)^3 < (c/3)^3 -a^3/3$
$a^3/3 + 2(b/2)^3 < 9(c/3)^3$

Справа должно быть $7$.

[Damonov]

venco в сообщении #1380610 писал(а):

Damonov в сообщении #1380554 писал(а):

$2(b/2)^3 -6(c/3)^3 < (c/3)^3 -a^3/3$
$a^3/3 + 2(b/2)^3 < 9(c/3)^3$

Справа должно быть $7$.

Нет, не должно. Кубы-то разные.
Ой, да, кажется, надо посмотреть. Но уже не сегодня.
Вижу пока только, что неравенство лишь усиливается.

Вот пока самый простой вариант:

Случай 1. Убедимся, что число $a^3$ не может быть самым маленьким.
Запишем равенство:
(2) $(c/3)^3 + 8(c/3)3 = 9(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$a^3 -(c/3)^3 = 18(c/3)^3$
$a^3 = 19(c/3)^3$

Таким образом, число $a^3$ не может быть самым маленьким, но надо будет ещё подумать, чтобы не пришлось отдельно доказывать более высокие показатели степени.

[provincialka]

Ну зачем искать ошибку в доказательстве, к которому уже приведен контрпример?
И что можно объяснить человеку, который считатет, что в теореме Ферма не важна целочисленность решения?
Делать вам нечего, граждане