2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2  След.
 
 Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 11:41 


22/02/19

15
Общее доказательство теоремы Ферма
Теорема.
Уравнение $a^3 + b^3 = c^3$ не имеет решений в целых ненулевых числах $a, b, c$.
Доказательство.
Примем для удобства $a < b < c $
Запишем исходное уравнение в виде:
(1) $a^3 + 8(b/2)^3 = 27(c/3)^3$
Рассуждения сводятся к выяснению вопроса о том, какое из трёх действительных положительных чисел $a^3, (b/2)^3$ или $(c/3)^3$ является наименьшим.
Рассмотрим по отдельности каждый из трёх возможных вариантов.
1). Число $a^3$ является наименьшим среди трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$.
2). Число $(b/2)^3$ является наименьшим.
3). Число $(c/3)^3$ является наименьшим.
Случай 1. Убедимся, что число $a^3$ не может быть самым маленьким.
Запишем равенство:
(2) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
(3) $a^3 -3(c/3)^3+8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 0$
Поскольку $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, постольку $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$.
$a^3 + 8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 3(c/3)^3$
(4) $8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 3[(c/3)^3 -a^3/3]$
Прибавляем выражение $[(c/3)^3 -a^3/3]$ к одной только правой части уравнения (4) и приходим к неравенству:
$8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] < 4[(c/3)^3 -a^3/3]$
$8(b/2)^3 -24(c/3)^3 < 4(c/3)^3 -4a^3/3$
$2(b/2)^3 -6(c/3)^3 < (c/3)^3 -a^3/3$
$a^3/3 + 2(b/2)^3 < 9(c/3)^3$
В левой части неравенства присутствует треть куба $a^3$, а в правой треть куба $c^3$.
С учётом знака неравенства, получаем неравенство для $2(b/2)^3$:
$2(b/2)^3 > b^3/3$
$6(b/2)^3 > b^3$
Однако в данной записи должен стоять знак неравенства противоположного смысла, поскольку $b^3 = 8(b/2)^3$
Отсюда ясно, что:
$a^3 + b^3 < c^3$
Вывод 1. Если число $a^3$ является самым маленьким из трёх, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.
Случай 2. Убедимся, что число $(b/2)^3$ не может быть наименьшим.
Запишем уравнение:
(5) $(b/2)^3 + 8(b/2)^3 = 9(b/2)^3$
Вычтем уравнение (5) из уравнения (1):
$a^3 -(b/2)^3 = 9[(c/3)^3 -(b/2)^3] + 18(c/3)^3$
Поскольку число $(b/2)^3$ самое маленькое, обе величины $(c/3)^3 -(b/2)^3$ и $a^3 -(b/2)^3$ положительны. Однако правая часть уравнения составляет более двух третей величины $c^3$, тогда как в левой части только часть малого куба $a^3$, то есть меньше половины суммарной величины $(a^3 + b^3)$.
Вывод 2. Если число $(b/2)^3$ является самым маленьким из трёх, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.
Случай 3. Убедимся, что число $(c/3)^3$ не может быть наименьшим.
Запишем равенство:
(6) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (6)
$a^3 -3(c/3)^3 + 8[(b/2)^3 -3(c/3)^3] = 0$
Если $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.
Остаётся единственный вариант: все три числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ одинаковы, но в этом случае большой куб превосходит суммарную величину двух малых кубов ровно в три раза.
Вывод 3. Если числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ является одинаковыми, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов.

Теорема доказана.

Или опять нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Я что-то не заметил, где учитывается натуральность вышеупомянутых чисел :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:25 


10/03/16
2098
Aeroport
gris в сообщении #1380557 писал(а):
не заметил, где учитывается натуральность вышеупомянутых чисел


Он доказал расширенную теорему Ферма, для любых комплексных чисел.

Damonov в сообщении #1380554 писал(а):
Или опять нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:27 
Аватара пользователя


12/10/16
621
Almaty, Kazakhstan
а как же другие случаи, где $\frac{b}{p}$ и $\frac{c}{p}$, $p>3$ - простое число.
И, $xa^3+yb^3=zc^3$ это немного другая задача, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:33 


22/02/19

15
gris в сообщении #1380557 писал(а):
Я что-то не заметил, где учитывается натуральность вышеупомянутых чисел :oops:

Разве натуральные числа не являются действительными числами? Обычный частный случай.
Я давно уже говорил, на нескольких сайтах, что ни чётность, ни нечётность, ни сократимость, ни натуральность чисел не имеет отношения к делу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Это да, но недавно отыскали решение Уравнения Ферма почти в натуральных числах. Это $666^3+2019^3=(\sqrt[3]{8525581155})^3$
Вот Вы пишете: "Разве натуральные числа не являются действительными числами? Обычный частный случай." Если бы было наоборот, то имело бы смысл присмотреться повнимательнее к вашему доказательству. Возможно, оно содержало бы некоторую конструктивную идею хотя бы для частного случая. А так оно заведомо имеет маленькую ошибку. Вот вы пишете, что "чётность не имеет значения". А ведь Теорема давно успешно доказана для случая трёх нечётных чисел!

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:40 


10/03/16
2098
Aeroport
Damonov

То есть вы действительно доказали расширенную теорему Ферма, я не ошибся? Ваше утверждение касается не только натуральных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:45 


22/02/19

15
ozheredov в сообщении #1380565 писал(а):
Damonov

То есть вы действительно доказали расширенную теорему Ферма, я не ошибся? Ваше утверждение касается не только натуральных чисел?

Мне так каэцца. Найдёте ошибку, тогда и помозгуем.

-- 08.03.2019, 13:48 --

gris в сообщении #1380564 писал(а):
Это да, но недавно отыскали решение Уравнения Ферма почти в натуральных числах. Это $666^3+2019^3=(\sqrt[3]{8525581155})^3$

Отнимите от куба 27 один-единственный кубик, и это будет уже не куб. Это и будет тем, что вы называете почти куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 12:53 


20/04/10
1243
Русь
ozheredov в сообщении #1380560 писал(а):
Он доказал расширенную теорему Ферма, для любых комплексных чисел.

Про комплексные вы пожалуй погорячились, в доказательстве используется сравнение чисел. Так что только для действительных, что не так уж и плохо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
Damonov в сообщении #1380554 писал(а):
Если $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.
Вот этот переход распишите подробнее.

(Оффтоп)

Damonov в сообщении #1380566 писал(а):
Это и будет тем, что вы называете почти куб.
Это вы говорите о почти кубах натуральных чисел. gris же говорит о кубах почти натуральных чисел. Это разные понятия, связь между которыми до сих пор не полностью изучена.
(открыт даже более простой вопрос: существуют ли натуральные почти натуральные числа?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 13:16 


22/02/19

15
mihaild в сообщении #1380568 писал(а):
Damonov в сообщении #1380554 писал(а):
Если $a^3 -3(c/3)^3 < 0$, то $(b/2)^3 -3(c/3)^3 > 0$, или наоборот.
Ни в том, ни в другом случае число $(c/3)^3$ не является наименьшим.
Вот этот переход распишите подробнее.

(Оффтоп)

Damonov в сообщении #1380566 писал(а):
Это и будет тем, что вы называете почти куб.
Это вы говорите о почти кубах натуральных чисел. gris же говорит о кубах почти натуральных чисел. Это разные понятия, связь между которыми до сих пор не полностью изучена.
(открыт даже более простой вопрос: существуют ли натуральные почти натуральные числа?)

Это вы про то уравнение, которое равно нулю? Так ведь одно число должно быть положительным, а второе отрицательным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5183
Москва
Не знаю, что значит "уравнение равно нулю".
Я про то, как вы получили, что $\left(\frac{c}{3}\right)^3$ не является наименьшим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 17:23 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Damonov в сообщении #1380554 писал(а):
$2(b/2)^3 -6(c/3)^3 < (c/3)^3 -a^3/3$
$a^3/3 + 2(b/2)^3 < 9(c/3)^3$
Справа должно быть $7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 19:26 


22/02/19

15
venco в сообщении #1380610 писал(а):
Damonov в сообщении #1380554 писал(а):
$2(b/2)^3 -6(c/3)^3 < (c/3)^3 -a^3/3$
$a^3/3 + 2(b/2)^3 < 9(c/3)^3$
Справа должно быть $7$.

Нет, не должно. Кубы-то разные.
Ой, да, кажется, надо посмотреть. Но уже не сегодня.
Вижу пока только, что неравенство лишь усиливается.

Вот пока самый простой вариант:

Случай 1. Убедимся, что число $a^3$ не может быть самым маленьким.
Запишем равенство:
(2) $(c/3)^3 + 8(c/3)3 = 9(c/3)^3$
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$a^3 -(c/3)^3 = 18(c/3)^3$
$a^3 = 19(c/3)^3$

Таким образом, число $a^3$ не может быть самым маленьким, но надо будет ещё подумать, чтобы не пришлось отдельно доказывать более высокие показатели степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чистая математика
Сообщение08.03.2019, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Ну зачем искать ошибку в доказательстве, к которому уже приведен контрпример?
И что можно объяснить человеку, который считатет, что в теореме Ферма не важна целочисленность решения?
Делать вам нечего, граждане :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group