Аппроксимация функционала от частн. производных

[follow_the_sun]

Всем привет! Решаю одну задачу по теории упругости (напряженное состояние тонкой пластинки), возник функционал $U[f(x,y)]=\iint\limits_{S}[{\dfrac{1}{2E}[(\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2})^2+(\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2})^2-2\nu\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}]+ {\dfrac{1}{2G}(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y})^2]dS $
Граничные условия:

1)$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=p(y)$ -на коротких сторонах
$2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$ -на длинных
Как лучше аппроксимировать подынтегральную функцию? Мне посоветовали метод Канторовича с координатными функциями в виде многочленов Чебышева. Я просто никогда этим раньше не занимался, поэтому не знаю, как лучше учесть граничные условия в этом методе.

[optimist]

На каждой границе должно быть по 2 граничных условия.

В данном случае удобно аппроксимировать $f(x,y) \approx f_0(x,y) + \sum\limits_{i=1}^n f_i(x) p_i(y)$, здесь $f_0(x,y)$ - функция, подобранная так, чтобы удовлетворялись граничные условия, $f_i(x) p_i(y)$ - удовлетворяют однородным граничным условиям, $f_i(x)$ - искомые функции, $p_i(y)$ - аппроксимирующие функции (но просто взять семейство многочленов Чебышева нельзя, так как не будут выполнятся однородные граничные условия, их нужно немного модифицировать).

[follow_the_sun]

optimist
1)$\dfrac{\partial^2 f(x,b)}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 f(x,b)}{\partial y^2}=0$- на верхней длинной (можно аналогично и для нижней длинной записать).
2)$\dfrac{\partial^2 f(L,y)}{\partial y^2}=p(y); \dfrac{\partial^2 f(L,y)}{\partial x^2}=0$ -на короткой правой (так же, аналогично для короткой левой тоже можно записать)
Потом из этой системы находим $f_0$? Она вообще любая или, если мы используем многочлены Чебышева, выразить ее тоже как многочлен?

[optimist]

follow_the_sun
Граничные условия записаны неверно.

$f_0$ - любая функция, удовлетворяющая граничным условиям. Таких функций бесконечно много. Нет, использовать аппроксимирующие функции при построении $f_0$, не нужно. В данной задаче, на мой взгляд, просто построить одну такую функцию.

[follow_the_sun]

optimist

optimist в сообщении #1380391 писал(а):

Граничные условия записаны неверно.

Почему?

[optimist]

follow_the_sun
По сравнению с первым постом, вы одну ошибку исправили и добавили другую.

[follow_the_sun]

optimist
1)$\dfrac{\partial^2 f(x,b)}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial^2 f(x,b)}{\partial x^2}=0$- на длинной
На короткой стороне $\sigma_{xx}=\sigma_{yx}=p(y)$? А как же закон парности касательных напряжений?

[optimist]

follow_the_sun
Откуда взялось $\sigma_{yx}=p(y)$?

[follow_the_sun]

optimist
вот это верно?

[optimist]

follow_the_sun
Если верхнее выражение есть ГУ на длинной стороне, а нижнее - на короткой, то почему на длинной стороне у вас задано усилие $p(y)$?

[follow_the_sun]

optimist
Потому что я даун
$p_j$ - усилие, приложенное к конкретной стороне.
На короткой:
$1)\dfrac{\partial^2 f(L,y)}{\partial y^2}=p(y)$
$2\dfrac{\partial^2 f(L,y)}{\partial y\partial x}=0$ -

[optimist]

follow_the_sun
Теперь верно.

[follow_the_sun]

optimist
Сколькими членами в ряде $ \sum\limits_{i=1}^n f_i(x) p_i(y)$ можно ограничиться?

[optimist]

follow_the_sun
Думаю, что 2 должно хватить, но пока рассмотрите случай $n=1$.

[follow_the_sun]

optimist
я взял $f_0=(y^2-\dfrac{b^2}{4})^2(x^2-\dfrac{L^2}{4})^2+\Pi(y)$, где $\Pi(y)''=p(y)$
точка пересечения осей $x,y$ - центр тяжести пластинки.
$ \sum\limits_{i=1}^n f_i(x) p_i(y)$ . Здесь $p_i(y)$ -это $i$-ый многочлен Чебышева (т.е. если $n=1$, то он равен просто единице).