Аппроксимация функционала от частн. производных

[follow_the_sun]

optimist
DSolve::bvnul: For some branches of the general solution, the given boundary conditions lead to an empty solution.

[optimist]

follow_the_sun
У вас не задана $g$.

Кроме того, по номерам in и out, видно что производные от phi посчитаны по старым неправильным данным.

Подобные ошибки не я должен искать, а вы.

[follow_the_sun]

optimist
Для $g=8\cdot 10^{10}$ у меня получилось $f_1(x)=0$

In[22]:= f[x, y] := ky^4/(12 b^2) + (y^2 - b^2/4)^2*f[x]
D[f[x, y], x, x]

(-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]
D[f[x, y], x, y]

Out[24]= (-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]

In[26]:= 4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]
D[f[x, y], y, y]

Out[26]= 4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]

Out[27]= 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]

In[29]:= func = 
 1/(2 e) (((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[
         x])^2 + (8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 - 
     2 nu (8 y^2 f[x] + 
        4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) ((-(b^2/4) + y^2)^2 (
         f^\[Prime]\[Prime])[x])) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2

Out[29]= (8 y^2 (-(b^2/4) + y^2)^2 Derivative[1][f][x]^2)/g + 1/(
 2 e)((8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 - 
   2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 (8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) (
     f^\[Prime]\[Prime])[x] + (-(b^2/4) + y^2)^4 (f^\[Prime]\[Prime])[
     x]^2)

In[30]:= phi = Integrate[func, {y, -b/2, b/2}]

In[31]:= (2 b^5 f[x]^2)/(5 e) + (b^7 Derivative[1][f][x]^2)/(
 105 g) + (2 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (
 b^9 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(1260 e)
D[phi, f[x]]

Out[31]= (2 b^5 f[x]^2)/(5 e) + (b^7 Derivative[1][f][x]^2)/(
 105 g) + (2 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (
 b^9 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(1260 e)

In[35]:= (4 b^5 f[x])/(5 e) + (2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(
 105 e)
D[phi, f'[x], x]

Out[35]= (4 b^5 f[x])/(5 e) + (2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(
 105 e)

In[37]:= (2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g)
D[phi, f''[x], x, x]

Out[37]= (2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g)

In[63]:= (2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)
(4 b^5 f[x])/(5 e) + (2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + (
 2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)
b := 1
e := 200*10^9
g := 8*10^10
k := 800*10^6
nu := 0.34
l := 5

(4 b^5 f[x])/(5 e) + (2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + (
 2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)


Out[63]= 3.2381*10^-14 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000

Out[64]= f[x]/250000000000 - 1.73333*10^-13 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000

In[76]:= f[x]/250000000000 - 
 1.7333333333333332`*^-13 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000
DSolve[{f[x]/250000000000 - 
    1.7333333333333332`*^-13 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000 == 0, f[2.5] == 0, 
  f[-2.5] == 0, f'[2.5] == 0, f'[-2.5] == 0}, f[x], x]

Out[76]= f[x]/250000000000 - 1.73333*10^-13 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000

{{f[x] -> 0}}

Надо аппроксимировать теперь двумя модифицированными многочленами Чебышева?

[optimist]

follow_the_sun

In[22]:= f[x, y] := ky^4/(12 b^2) + (y^2 - b^2/4)^2*f[x]

надо

k*y^4

иначе математика считает ky одной переменной.

Модуль сдвига $G$ выражается через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как $G=\frac{E}{2(1+\nu)}$ и он не равен тому, что вы написали.

[follow_the_sun]

optimist

optimist в сообщении #1383357 писал(а):

Модуль сдвига $G$ выражается через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как $G=\frac{E}{2(1+\nu)}$ и он не равен тому, что вы написали.

Кстати, это единственный вопрос, на который я забил при подготовке к экзамену по сопромату (там был вывод этого соотношения). а зря, как оказалось
Правильно я понимаю, что получается отсюда примерно полметра - зона в которой не справедлив принцип Сен-Венана? Наверное, я опять где-то ошибся

f[x, y] := k*y^4/(12 b^2) + (y^2 - b^2/4)^2*f[x]

D[f[x, y], x, x]

(-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]

D[f[x, y], x, y]

4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]

D[f[x, y], y, y]

(k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]

functional = 
 1/(2 e) (((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])^2 + ((k y^2)/
        b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 - 
     2 nu*((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])*((k y^2)/b^2 + 
        8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2

(8 y^2 (-(b^2/4) + y^2)^2 Derivative[1][f][x]^2)/g + 1/(
 2 e) (((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 - 
   2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 ((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
      4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) (f^\[Prime]\[Prime])[
     x] + (-(b^2/4) + y^2)^4 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)

phi = Integrate[functional, {y, -b/2, b/2}]

(b k^2)/(160 e) + (b^3 k f[x])/(15 e) + (2 b^5 f[x]^2)/(5 e) + (
 b^7 Derivative[1][f][x]^2)/(105 g) - (
 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(840 e) + (
 2 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (
 b^9 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(1260 e)

D[phi, f[x]]

(b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + (
 2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e)

D[phi, f'[x], x]

(2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g)

D[phi, f''[x], x, x]

(2 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)

Диффур :
  b := 1
L := 5
nu := 0.34
e := 200*10^9
k := 800*10^6
g := 74*10^9

(800*10^6)/(15 *200*10^9) + (4  f[x])/(5*200*10^9) + (
 0.68* (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105*200*10^9 ) - (
 2  (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 *74*10^9) + (
 0.68 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105*200*10^9) + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/(630 *200*10^9)

DSolve[{(800*10^6)/(15 *200*10^9) + (4  f[x])/(5*200*10^9) + (
    0.68* (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105*200*10^9 ) - (
    2  (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 *74*10^9) + (
    0.68 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105*200*10^9) + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/(630 *200*10^9) == 0, 
  f[2.5] == f[-2.5] == f'[2.5] == f'[-2.5] == 0}, f[x], x]

{{f[x] -> -450.29422565039783` E^(-4.158494952315072` x) \
(148051.3470284332` E^(4.158494952315072` x) + 
      1.0000000000000002` Cos[2.2708729713952995` x] + 
      1.` E^(8.316989904630145` x) Cos[2.2708729713952995` x] - 
      9.383095580259706` Sin[2.2708729713952995` x] + 
      9.383095580259706` E^(8.316989904630145` x)
        Sin[2.2708729713952995` x])}}
D[-450.29422565039783` E^(-4.158494952315072` x) (148051.3470284332` \
E^(4.158494952315072` x) + 
    1.0000000000000002` Cos[2.2708729713952995` x] + 
    1.` E^(8.316989904630145` x) Cos[2.2708729713952995` x] - 
    9.383095580259706` Sin[2.2708729713952995` x] + 
    9.383095580259706` E^(8.316989904630145` x)
      Sin[2.2708729713952995` x]), x, x]


{{f[x] -> -450.294 E^(-4.15849 x) (148051. E^(4.15849 x) + 
      1. Cos[2.27087 x] + 1. E^(8.31699 x) Cos[2.27087 x] - 
      9.3831 Sin[2.27087 x] + 9.3831 E^(8.31699 x) Sin[2.27087 x])}}

[optimist]

follow_the_sun
Похоже на правильный результат. Стройте поля напряжений, для отображения советую использовать

Plot3D

с опцией

BoxRatios

.